Problème — Calcul d'aire délimitée par deux courbes

Primitives et Intégration · niveau 2

Énoncé

Problème — Calcul d'aire délimitée par deux courbes. On considère la fonction $f$ définie sur $[0, 1]$ par $f (x) = x^{2}$ et la fonction $g$ définie sur $[0, 1]$ par $g (x) = x$ . On note $C_{f}$ et $C_{g}$ leurs courbes représentatives.

Démontrer que pour tout $x \in [0, 1]$ , $g (x) \geq f (x)$ .
Calculer l'aire $A$ de la région délimitée par les deux courbes $C_{f}$ et $C_{g}$ et les droites verticales d'équations $x = 0$ et $x = 1$ (exprimer le résultat en unités d'aire).

Corrigé

Pour comparer $f (x)$ et $g (x)$ sur $[0, 1]$ , calculons la différence :

$g (x) - f (x) = x - x^{2} = x (1 - x x) = x (1 - x^{3/2})$

Pour tout $x \in [0, 1]$ , on a $0 \leq x \leq 1 ⟹ 0 \leq x^{3/2} \leq 1 ⟹ 1 - x^{3/2} \geq 0$ . Le produit est donc positif ou nul sur $[0, 1]$ , ce qui montre que $g (x) \geq f (x)$ .

L'aire $A$ de la région délimitée par les courbes est l'intégrale de la différence :

$A = \int_{0}^{1} (g (x) - f (x)) d x = \int_{0}^{1} (x - x^{2}) d x$

Déterminons une primitive de $x \mapsto x^{1/2} - x^{2}$ :

$F (x) = \frac{x ^{3/2}}{3/2} - \frac{x ^{3}}{3} = \frac{2}{3} x x - \frac{x ^{3}}{3}$

Calculons l'intégrale :

$A = [F (x)]_{0}^{1} = F (1) - F (0) = (\frac{2}{3} (1) (1) - \frac{1}{3}) - 0 = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3} u.a.$

L'aire de la région en forme de fuseau fermée par les deux courbes est égale à $1/3$ d'unité d'aire.