Problème — Calcul de température moyenne journalière

• La fonction cosinus varie entre $-1$ et $1$. La température est minimale lorsque le cosinus est maximal, c'est-à-dire quand $\cos \left(\frac{\pi (t-4)}{12}\right)=1$. La température minimale est alors $T_{\min }=15-6(1)=9^{\circ }$C. Cette valeur est atteinte quand :

$$\frac{\pi (t-4)}{12}=0\text{ (ou }2\pi )⟹t-4=0⟹t=4\text{ heures}$$

La température minimale de $9^{\circ }$C est atteinte à 4 heures du matin.

• La température est maximale lorsque le cosinus est minimal, c'est-à-dire quand $\cos \left(\frac{\pi (t-4)}{12}\right)=-1$. La température maximale est alors $T_{\max }=15-6(-1)=21^{\circ }$C. Cette valeur est atteinte quand :

$$\frac{\pi (t-4)}{12}=\pi ⟹t-4=12⟹t=16\text{ heures}$$

La température maximale de $21^{\circ }$C est atteinte à 16 heures (4 heures de l'après-midi).

• La température moyenne journalière est la valeur moyenne de la fonction $T$ sur $[0,24]$ :

$$\mu =\frac{1}{24-0}{\int }_0^{24}T(t)\mathrm{d}t=\frac{1}{24}{\int }_0^{24}\left[15-6\cos \left(\frac{\pi (t-4)}{12}\right)\right]\mathrm{d}t$$

Déterminons une primitive de la fonction $T$. Une primitive de $\cos (at+b)$ est $\frac{1}{a}\sin (at+b)$. Ici $a=\frac{\pi }{12}$, donc $\frac{1}{a}=\frac{12}{\pi }$. Une primitive de $T$ est :

$$F(t)=15t-6\times \frac{12}{\pi }\sin \left(\frac{\pi (t-4)}{12}\right)=15t-\frac{72}{\pi }\sin \left(\frac{\pi (t-4)}{12}\right)$$

Calculons l'intégrale :

$${\int }_0^{24}T(t)\mathrm{d}t=F(24)-F(0)$$

• $F(24)=15(24)-\frac{72}{\pi }\sin \left(\frac{20\pi }{12}\right)=360-\frac{72}{\pi }\sin \left(\frac{5\pi }{3}\right)=360-\frac{72}{\pi }\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=360+\frac{36\sqrt{3}}{\pi }$ ;
• $F(0)=15(0)-\frac{72}{\pi }\sin \left(-\frac{4\pi }{12}\right)=-\frac{72}{\pi }\sin \left(-\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{72}{\pi }\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{36\sqrt{3}}{\pi }$.

La différence vaut :

$$F(24)-F(0)=\left(360+\frac{36\sqrt{3}}{\pi }\right)-\frac{36\sqrt{3}}{\pi }=360$$

On obtient la valeur moyenne :

$$\mu =\frac{1}{24}\times 360=15^{\circ }\text{C}$$

La température moyenne sur la journée est de $15^{\circ }$C.