Problème — Double intégration par parties

Appliquons une première intégration par parties. Posons :

$$\{\begin{array}{ll}v(x)=x^2& ⟹v^{\prime }(x)=2x\\ u^{\prime }(x)=\sin (x)& ⟹u(x)=-\cos (x)\end{array}$$

Les fonctions $u$ et $v$ sont dérivables à dérivées continues sur $[0,\pi ]$.

$$I=[-x^2\cos (x){]}_0^{\pi }-{\int }_0^{\pi }2x(-\cos (x))\mathrm{d}x=\left(-{\pi }^2\cos (\pi )-0\right)+2{\int }_0^{\pi }x\cos (x)\mathrm{d}x$$

Comme $\cos (\pi )=-1$, on a $[-x^2\cos (x){]}_0^{\pi }={\pi }^2$. On obtient :

$$I={\pi }^2+2J\text{ouˋ}J={\int }_0^{\pi }x\cos (x)\mathrm{d}x$$

Calculons l'intégrale $J$ à l'aide d'une deuxième intégration par parties. Posons :

$$\{\begin{array}{ll}v(x)=x& ⟹v^{\prime }(x)=1\\ u^{\prime }(x)=\cos (x)& ⟹u(x)=\sin (x)\end{array}$$

Les fonctions sont dérivables et continues sur $[0,\pi ]$.

$$J=[x\sin (x){]}_0^{\pi }-{\int }_0^{\pi }1\cdot \sin (x)\mathrm{d}x$$

Le crochet vaut $\pi \sin (\pi )-0=0$ car $\sin (\pi )=0$. Il reste :

$$J=-{\int }_0^{\pi }\sin (x)\mathrm{d}x=[\cos (x){]}_0^{\pi }=\cos (\pi )-\cos (0)=-1-1=-2$$

En remplaçant la valeur de $J$ dans la première équation :

$$I={\pi }^2+2(-2)={\pi }^2-4$$

La valeur exacte de l'intégrale est ${\pi }^2-4\approx 5,87$.