Problème — Étude d'une fonction définie par une intégrale

• La fonction $t\mapsto e^{-t^2}$ est continue sur $\mathbb{R}$. D'après le théorème fondamental de l'analyse, la fonction $F$ qui à tout $x\in \mathbb{R}$ associe l'intégrale de $0$ à $x$ de la fonction continue est l'unique primitive de cette fonction qui s'annule en 0. $F$ est donc dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout $x\in \mathbb{R}$ :

$$F^{\prime }(x)=e^{-x^2}$$

• Puisque pour tout réel $x$, la fonction exponentielle est strictement positive, on a $F^{\prime }(x)=e^{-x^2}>0$. La fonction $F$ est donc strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

• Pour tout $t\ge 1$ : en multipliant par $t$ (qui est positif) : $t\times t\ge 1\times t⟹t^2\ge t$. La fonction exponentielle étant strictement croissante :

$$t^2\ge t⟹-t^2\le -t⟹e^{-t^2}\le e^{-t}$$

• Soit $x\ge 1$. En utilisant la relation de Chasles pour l'intégrale :

$$F(x)={\int }_0^1{e}^{-t^2}\mathrm{d}t+{\int }_1^x{e}^{-t^2}\mathrm{d}t=F(1)+{\int }_1^x{e}^{-t^2}\mathrm{d}t$$

D'après la question précédente, pour $t\ge 1$, $e^{-t^2}\le e^{-t}$. Par conservation de l'ordre de l'intégrale (avec $1\le x$) :

$${\int }_1^x{e}^{-t^2}\mathrm{d}t\le {\int }_1^x{e}^{-t}\mathrm{d}t$$

Calculons cette dernière intégrale :

$${\int }_1^x{e}^{-t}\mathrm{d}t=[-e^{-t}{]}_1^x=-e^{-x}-(-e^{-1})=\frac{1}{e}-e^{-x}$$

On en déduit que pour tout $x\ge 1$ :

$$F(x)\le F(1)+\frac{1}{e}-e^{-x}$$

De plus, pour tout $x\ge 1$, $e^{-x}>0⟹-e^{-x}<0$, ce qui montre que :

$$F(x)<F(1)+\frac{1}{e}$$

La fonction $F$ est donc majorée sur $[1,+\infty [$ par la constante $M=F(1)+\frac{1}{e}$. Par ailleurs, $F$ étant croissante (question 2), on a $F(x)\le F(1)\le M$ pour tout $x\in [0,1]$. La fonction $F$ est donc majorée par $M$ sur $[0,+\infty [$. Puisque $F$ est croissante et majorée sur $[0,+\infty [$, d'après le théorème de la limite monotone, la fonction $F$ admet une limite finie lorsque $x\to +\infty$.