Problème — Suite d'intégrales et convergence monotone

Primitives et Intégration · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Problème — Suite d'intégrales et convergence monotone. On considère la suite $(I_{n})$ définie pour tout $n \in N$ par :

$I_{n} = \int_{0}^{1} x^{n} e^{- x} d x$

Calculer $I_{0}$ .
Montrer que la suite $(I_{n})$ est décroissante, puis qu'elle est minorée. Que peut-on en déduire ?
Établir par un encadrement la limite de la suite $(I_{n})$ .

Corrigé

Pour $n = 0$ :

$I_{0} = \int_{0}^{1} x^{0} e^{- x} d x = \int_{0}^{1} e^{- x} d x = [- e^{- x}]_{0}^{1} = - e^{- 1} - (- e^{0}) = 1 - e^{- 1} = 1 - \frac{1}{e}$

Étudions le signe de $I_{n + 1} - I_{n}$ :

$I_{n + 1} - I_{n} = \int_{0}^{1} x^{n + 1} e^{- x} d x - \int_{0}^{1} x^{n} e^{- x} d x = \int_{0}^{1} x^{n} (x - 1) e^{- x} d x$

Pour tout $x \in [0, 1]$ , $x^{n} \geq 0$ , $e^{- x} > 0$ et $x - 1 \leq 0$ . Le produit $x^{n} (x - 1) e^{- x}$ est donc négatif ou nul sur $[0, 1]$ . L'intégrale d'une fonction négative sur un intervalle dont les bornes sont dans l'ordre croissant ( $0 < 1$ ) est négative, donc :

$I_{n + 1} - I_{n} \leq 0$

La suite $(I_{n})$ est donc décroissante. De plus, pour tout $x \in [0, 1]$ , $x^{n} e^{- x} \geq 0$ . Par positivité de l'intégrale, $I_{n} \geq 0$ pour tout $n \in N$ . La suite $(I_{n})$ est décroissante et minorée par 0, elle est donc convergente d'après le théorème de convergence monotone.

Encadrons $I_{n}$ : Pour tout $x \in [0, 1]$ :

$0 \leq e^{- x} \leq 1 ⟹ 0 \leq x^{n} e^{- x} \leq x^{n}$

Par intégration sur $[0, 1]$ :

$0 \leq \int_{0}^{1} x^{n} e^{- x} d x \leq \int_{0}^{1} x^{n} d x ⟹ 0 \leq I_{n} \leq [\frac{x ^{n + 1}}{n + 1}]_{0}^{1} ⟹ 0 \leq I_{n} \leq \frac{1}{n + 1}$

Puisque $lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n + 1} = 0$ , on obtient par le théorème des Gendarmes :

$n \to + \infty lim I_{n} = 0$