Problème — Suite d'intégrales et convergence monotone

• Pour $n=0$ :

$$I_0={\int }_0^1{x}^0{e}^{-x}\mathrm{d}x={\int }_0^1{e}^{-x}\mathrm{d}x=[-e^{-x}{]}_0^1=-e^{-1}-(-e^0)=1-e^{-1}=1-\frac{1}{e}$$

• Étudions le signe de $I_{n+1}-I_n$ :

$$I_{n+1}-I_n={\int }_0^1{x}^{n+1}{e}^{-x}\mathrm{d}x-{\int }_0^1{x}^n{e}^{-x}\mathrm{d}x={\int }_0^1{x}^n(x-1)e^{-x}\mathrm{d}x$$

Pour tout $x\in [0,1]$, $x^n\ge 0$, $e^{-x}>0$ et $x-1\le 0$. Le produit $x^n(x-1)e^{-x}$ est donc négatif ou nul sur $[0,1]$. L'intégrale d'une fonction négative sur un intervalle dont les bornes sont dans l'ordre croissant ($0<1$) est négative, donc :

$$I_{n+1}-I_n\le 0$$

La suite $(I_n)$ est donc décroissante. De plus, pour tout $x\in [0,1]$, $x^n{e}^{-x}\ge 0$. Par positivité de l'intégrale, $I_n\ge 0$ pour tout $n\in \mathbb{N}$. La suite $(I_n)$ est décroissante et minorée par 0, elle est donc convergente d'après le théorème de convergence monotone.

• Encadrons $I_n$ : Pour tout $x\in [0,1]$ :

$$0\le e^{-x}\le 1⟹0\le x^n{e}^{-x}\le x^n$$

Par intégration sur $[0,1]$ :

$$0\le {\int }_0^1{x}^n{e}^{-x}\mathrm{d}x\le {\int }_0^1{x}^n\mathrm{d}x⟹0\le I_n\le {\left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]}_0^1⟹0\le I_n\le \frac{1}{n+1}$$

Puisque ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{1}{n+1}=0$, on obtient par le théorème des Gendarmes :

$$\underset{n\to +\infty }{\lim }{I}_n=0$$