Problème — Une suite d'intégrales par parties

• Pour $n=0$ : $I_0={\int }_0^1(1-x^2{)}^0\mathrm{d}x={\int }_0^{1}1\mathrm{d}x=[x{]}_0^1=1$. Pour $n=1$ : $I_1={\int }_0^1(1-x^2)\mathrm{d}x={\left[x-\frac{x^3}{3}\right]}_0^1=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$.

• Pour tout $x\in [0,1]$, $0\le x^2\le 1⟹0\le 1-x^2\le 1$. En multipliant par $(1-x^2{)}^n\ge 0$, on a : $(1-x^2{)}^{n+1}\le (1-x^2{)}^n$. Par conservation de l'ordre de l'intégrale :

$${\int }_0^1(1-x^2{)}^{n+1}\mathrm{d}x\le {\int }_0^1(1-x^2{)}^n\mathrm{d}x⟹I_{n+1}\le I_n$$

La suite $(I_n)$ est donc décroissante.

• Appliquons une intégration par parties pour $I_n={\int }_0^{1}1\times (1-x^2{)}^n\mathrm{d}x$. Posons :

$$\{\begin{array}{ll}v(x)=(1-x^2{)}^n& ⟹v^{\prime }(x)=n(1-x^2{)}^{n-1}(-2x)=-2nx(1-x^2{)}^{n-1}\\ u^{\prime }(x)=1& ⟹u(x)=x\end{array}$$

Les fonctions $u$ et $v$ sont bien dérivables à dérivées continues sur $[0,1]$.

$$I_n=[x(1-x^2{)}^n{]}_0^1-{\int }_0^{1}x\left(-2nx(1-x^2{)}^{n-1}\right)\mathrm{d}x$$

Le crochet vaut $1(1-1^2{)}^n-0=0$. On obtient :

$$I_n=2n{\int }_0^1{x}^2(1-x^2{)}^{n-1}\mathrm{d}x$$

• Transformons l'intégrale obtenue en écrivant $x^2=1-(1-x^2)$ :

$${\int }_0^1{x}^2(1-x^2{)}^{n-1}\mathrm{d}x={\int }_0^1(1-(1-x^2))(1-x^2{)}^{n-1}\mathrm{d}x={\int }_0^1(1-x^2{)}^{n-1}\mathrm{d}x-{\int }_0^1(1-x^2{)}^n\mathrm{d}x$$

Ce qui donne :

$${\int }_0^1{x}^2(1-x^2{)}^{n-1}\mathrm{d}x=I_{n-1}-I_n$$

En remplaçant dans la relation de la question 3 :

$$\begin{array}{rl}{I}_n=2n(I_{n-1}-I_n)& ⟺I_n=2n{I}_{n-1}-2n{I}_n\\ & ⟺I_n(1+2n)=2n{I}_{n-1}⟺I_n=\frac{2n}{2n+1}{I}_{n-1}\end{array}$$