Problème — Dénombrement des mains au poker

• Une main est une combinaison de 5 cartes parmi 52. Le nombre de mains possibles est :

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{52}{5}\right)=\frac{52\times 51\times 50\times 49\times 48}{5\times 4\times 3\times 2\times 1}=2598960$$

• Déterminons le nombre de mains pour chaque configuration :

• Une paire :

• valeur de la paire parmi les 13 valeurs possibles : $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{13}{1}\right)=13$ choix ;
• les 2 cartes de cette valeur parmi les 4 enseignes possibles : $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=6$ choix ;
• les 3 autres valeurs distinctes parmi les 12 valeurs restantes : $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{3}\right)=220$ choix ;
• pour chacune de ces 3 valeurs, une carte parmi les 4 enseignes : ${\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1}\right)}^3=4^3=64$ choix.

Par le principe multiplicatif, le nombre de mains est :

$$N_{\text{paire}}=13\times 6\times 220\times 64=1098240$$

• Un brelan :

• valeur du brelan parmi les 13 valeurs : $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{13}{1}\right)=13$ choix ;
• les 3 cartes de cette valeur parmi les 4 enseignes : $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)=4$ choix ;
• les 2 autres valeurs distinctes parmi les 12 restantes : $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{2}\right)=66$ choix ;
• pour chacune de ces 2 valeurs, une carte parmi les 4 enseignes : ${\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1}\right)}^2=4^2=16$ choix.

Le nombre de mains est :

$$N_{\text{brelan}}=13\times 4\times 66\times 16=54912$$

• Une couleur :

• l'une des 4 couleurs (Cœur, Carreau, Pique, Trèfle) : $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1}\right)=4$ choix ;
• les 5 cartes de cette couleur parmi les 13 disponibles : $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{13}{5}\right)=\frac{13\times 12\times 11\times 10\times 9}{5\times 4\times 3\times 2\times 1}=1287$ choix.

Le nombre de mains est :

$$N_{\text{couleur}}=4\times 1287=5148$$

• Un full :

• valeur du brelan parmi les 13 valeurs : $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{13}{1}\right)=13$ choix ;
• 3 cartes de cette valeur parmi les 4 enseignes : $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)=4$ choix ;
• valeur de la paire parmi les 12 valeurs restantes : $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{1}\right)=12$ choix ;
• 2 cartes de cette valeur parmi les 4 enseignes : $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=6$ choix.

Le nombre de mains est :

$$N_{\text{full}}=13\times 4\times 12\times 6=3744$$

• Un carré :

• valeur du carré parmi les 13 valeurs : $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{13}{1}\right)=13$ choix ;
• les 4 cartes de cette valeur : $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{4}\right)=1$ choix ;
• la 5^e carte parmi les 48 cartes restantes : $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{48}{1}\right)=48$ choix.

Le nombre de mains est :

$$N_{\text{carreˊ}}=13\times 1\times 48=624$$