Distance d'un point à un plan par projection

• Le vecteur normal au plan $\mathcal{P}$ est $\overrightarrow{n}(1,-2,2)$. La droite $D$ étant orthogonale à $\mathcal{P}$, elle admet $\overrightarrow{n}$ pour vecteur directeur. Comme elle passe par $A(1,2,9)$, sa représentation paramétrique est :

$$\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2-2t\\ z=9+2t\end{array}(t\in \mathbb{R})$$

• Le projeté orthogonal $H$ de $A$ sur le plan $\mathcal{P}$ est le point d'intersection de la droite $D$ et du plan $\mathcal{P}$. Injectons les équations paramétriques de $D$ dans l'équation de $\mathcal{P}$ :

$$\begin{array}{rl}(1+t)-2(2-2t)+2(9+2t)-3=0& ⟺1+t-4+4t+18+4t-3=0\\ & ⟺9t+12=0⟺t=-\frac{4}{3}\end{array}$$

Remplaçons $t=-\frac{4}{3}$ dans la représentation paramétrique de $D$ pour trouver les coordonnées de $H$ :

$$x_H=1-\frac{4}{3}=-\frac{1}{3},y_H=2-2\left(-\frac{4}{3}\right)=\frac{14}{3},z_H=9+2\left(-\frac{4}{3}\right)=\frac{19}{3}$$

Le point de projection est $H\left(-\frac{1}{3},\frac{14}{3},\frac{19}{3}\right)$.

• La distance $AH$ est la norme du vecteur $\overrightarrow{AH}$. Puisque $H$ est sur la droite $D$, on a $\overrightarrow{AH}=t\overrightarrow{n}$ avec $t=-\frac{4}{3}$.

$$AH=|t|\times \Vert \overrightarrow{n}\Vert =\left|-\frac{4}{3}\right|\times \sqrt{1^2+(-2{)}^2+2^2}=\frac{4}{3}\times \sqrt{1+4+4}=\frac{4}{3}\times \sqrt{9}=\frac{4}{3}\times 3=4$$

La distance du point $A$ au plan $\mathcal{P}$ est de 4 unités.