Distance d'un point à un plan par projection

Géométrie dans l'espace · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Distance d'un point à un plan par projection. Soit le plan $P$ d'équation cartésienne $x - 2 y + 2 z - 3 = 0$ et le point $A (1, 2, 9)$ .

Déterminer une représentation paramétrique de la droite $D$ orthogonale au plan $P$ passant par $A$ .
Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ du point $A$ sur le plan $P$ .
En déduire la distance $A H$ .

Corrigé

Le vecteur normal au plan $P$ est $n (1, - 2, 2)$ . La droite $D$ étant orthogonale à $P$ , elle admet $n$ pour vecteur directeur. Comme elle passe par $A (1, 2, 9)$ , sa représentation paramétrique est :

$⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + t y = 2 - 2 t z = 9 + 2 t (t \in R)$

Le projeté orthogonal $H$ de $A$ sur le plan $P$ est le point d'intersection de la droite $D$ et du plan $P$ . Injectons les équations paramétriques de $D$ dans l'équation de $P$ :

$(1 + t) - 2 (2 - 2 t) + 2 (9 + 2 t) - 3 = 0 ⟺ 1 + t - 4 + 4 t + 18 + 4 t - 3 = 0 ⟺ 9 t + 12 = 0 ⟺ t = - \frac{4}{3}$

Remplaçons $t = - \frac{4}{3}$ dans la représentation paramétrique de $D$ pour trouver les coordonnées de $H$ :

$x_{H} = 1 - \frac{4}{3} = - \frac{1}{3}, y_{H} = 2 - 2 (- \frac{4}{3}) = \frac{14}{3}, z_{H} = 9 + 2 (- \frac{4}{3}) = \frac{19}{3}$

Le point de projection est $H (- \frac{1}{3}, \frac{14}{3}, \frac{19}{3})$ .

La distance $A H$ est la norme du vecteur $A H$ . Puisque $H$ est sur la droite $D$ , on a $A H = t n$ avec $t = - \frac{4}{3}$ .

$A H = ∣ t ∣ \times ∥ n ∥ = - \frac{4}{3} \times 1^{2} + (- 2)^{2} + 2^{2} = \frac{4}{3} \times 1 + 4 + 4 = \frac{4}{3} \times 9 = \frac{4}{3} \times 3 = 4$

La distance du point $A$ au plan $P$ est de 4 unités.