Plan défini par trois points

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (terminale), chapitre 8 — Géométrie dans l'espace

Énoncé

Plan défini par trois points. Soient les points $A (1, 0, 1)$ , $B (2, 1, - 1)$ et $C (0, 1, 2)$ .

Démontrer que les points $A$ , $B$ et $C$ définissent un plan.
Démontrer que le vecteur $n (3, 1, 2)$ est un vecteur normal au plan $(A B C)$ , puis en déduire une équation cartésienne de ce plan.

Corrigé

Les points $A$ , $B$ et $C$ définissent un plan unique si et seulement s'ils ne sont pas alignés, c'est-à-dire si les vecteurs $A B$ et $A C$ ne sont pas colinéaires. Calculons leurs coordonnées :

$A B = 2 - 1 1 - 0 - 1 - 1 = 11 - 2 et A C = 0 - 1 1 - 0 2 - 1 = - 1 11$

Les coordonnées ne sont pas proportionnelles (par exemple, $\frac{x _{A C}}{x _{A B}} = - 1$ et $\frac{y _{A C}}{y _{A B}} = 1$ ). Les vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les points $A, B$ et $C$ définissent bien un plan.

Pour prouver que $n (3, 1, 2)$ est normal au plan $(A B C)$ , il suffit de montrer qu'il est orthogonal aux deux vecteurs directeurs non colinéaires $A B$ et $A C$ :

$n \cdot A B = 3 \times 1 + 1 \times 1 + 2 \times (- 2) = 3 + 1 - 4 = 0$

$n \cdot A C = 3 \times (- 1) + 1 \times 1 + 2 \times 1 = - 3 + 1 + 2 = 0$

Le vecteur $n$ est orthogonal à $A B$ et $A C$ , il est donc normal au plan $(A B C)$ .

L'équation du plan est de la forme :

$3 x + y + 2 z + d = 0$

Le point $A (1, 0, 1)$ appartient au plan, d'où :

$3 (1) + 0 + 2 (1) + d = 0 ⟺ 5 + d = 0 ⟺ d = - 5$

L'équation cartésienne du plan $(A B C)$ est :

$3 x + y + 2 z - 5 = 0$

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