Problème — Étude géométrique d'un cube et coordonnées

Application directe du cours · niveau 3 (difficile) · mathématiques (terminale), chapitre 8 — Géométrie dans l'espace

Énoncé

Problème — Étude géométrique d'un cube et coordonnées. Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O; , , k)$ , on considère le cube $O A B C D E F G$ de côté 1 tel que $O (0, 0, 0)$ , $A (1, 0, 0)$ , $C (0, 1, 0)$ et $D (0, 0, 1)$ . Les sommets restants sont $B (1, 1, 0)$ , $E (1, 0, 1)$ et $G (0, 1, 1)$ ; le sommet $F$ est celui qui est opposé à $O$ dans le cube.

À l'aide de la figure, justifier que le sommet $F$ a pour coordonnées $(1, 1, 1)$ , puis en déduire les coordonnées du vecteur $O F$ .
Soit le plan $(B GE)$ . Calculer les coordonnées des vecteurs $B G$ et $B E$ .
Montrer que la grande diagonale $(O F)$ du cube est orthogonale au plan $(B GE)$ .
Déterminer une équation cartésienne du plan $(B GE)$ .
Soit $H$ le projeté orthogonal de $O$ sur le plan $(B GE)$ . Déterminer les coordonnées de $H$ et en déduire la distance de l'origine au plan $(B GE)$ .

Corrigé

Sur la figure, on lit le chemin $O \to A \to B \to F$ le long des arêtes du cube, ce qui donne, d'après la relation de Chasles :

$O F = O A + A B + B F$

L'arête $[A B]$ est un translaté de l'arête $[O C]$ dans la face $O A B C$ , donc $A B = O C$ ; de même, l'arête $[B F]$ est verticale comme $[O D]$ , donc $B F = O D$ . On obtient :

$O F = O A + O C + O D =  +  + k$

Comme $O$ est l'origine du repère, les coordonnées de $F$ sont celles de $O F$ , c'est-à-dire $F (1, 1, 1)$ , et :

$O F = 111$

Déterminons les coordonnées des vecteurs :

$B G = x_{G} - x_{B} y_{G} - y_{B} z_{G} - z_{B} = 0 - 1 1 - 1 1 - 0 = - 1 01$

$B E = x_{E} - x_{B} y_{E} - y_{B} z_{E} - z_{B} = 1 - 1 0 - 1 1 - 0 = 0 - 1 1$

La droite $(O F)$ est orthogonale au plan $(B GE)$ si son vecteur directeur $O F$ est orthogonal aux deux vecteurs directeurs non colinéaires $B G$ et $B E$ du plan. Calculons les produits scalaires :

$O F \cdot B G = 1 \times (- 1) + 1 \times 0 + 1 \times 1 = - 1 + 0 + 1 = 0$

$O F \cdot B E = 1 \times 0 + 1 \times (- 1) + 1 \times 1 = 0 - 1 + 1 = 0$

Les produits scalaires étant nuls, le vecteur $O F$ est orthogonal à deux vecteurs directeurs sécants du plan. Par conséquent, la droite $(O F)$ est orthogonale au plan $(B GE)$ .

Puisque $(O F)$ est orthogonale au plan $(B GE)$ , le vecteur $O F (1, 1, 1)$ est un vecteur normal au plan $(B GE)$ . L'équation du plan est donc de la forme :

$x + y + z + d = 0$

Le point $B (1, 1, 0)$ appartient à ce plan, ce qui donne :

$1 + 1 + 0 + d = 0 ⟺ 2 + d = 0 ⟺ d = - 2$

Une équation cartésienne du plan $(B GE)$ est :

$x + y + z - 2 = 0$

Le projeté orthogonal $H$ de $O (0, 0, 0)$ sur le plan $(B GE)$ appartient à la fois au plan et à la droite $(O F)$ passant par $O$ et dirigée par le vecteur normal $O F (1, 1, 1)$ . La droite $(O F)$ a pour représentation paramétrique $x = t, y = t, z = t$ ( $t \in R$ ). Injectons cela dans l'équation cartésienne du plan :

$t + t + t - 2 = 0 ⟺ 3 t = 2 ⟺ t = \frac{2}{3}$

Les coordonnées de $H$ sont donc $H (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3})$ . La distance de l'origine au plan est $O H$ :

$O H = (\frac{2}{3})^{2} + (\frac{2}{3})^{2} + (\frac{2}{3})^{2} = \frac{4}{9} + \frac{4}{9} + \frac{4}{9} = \frac{12}{9} = \frac{12}{3} = \frac{2 3}{3} unit e ˊ s$

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