Problème — Intersection de deux plans et d'une droite

• Les vecteurs normaux respectifs des plans ${\mathcal{P}}_1$ et ${\mathcal{P}}_2$ sont ${\overrightarrow{n}}_1(1,-1,1)$ et ${\overrightarrow{n}}_2(2,1,-1)$. Leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles (par exemple, $\frac{2}{1}=2$ pour l'abscisse mais $\frac{1}{-1}=-1$ pour l'ordonnée). Les vecteurs normaux ne sont pas colinéaires, ce qui signifie que les deux plans ne sont pas parallèles. Ils se coupent donc selon une droite $\Delta$.

• Un point $M(x,y,z)$ appartient à la droite $\Delta$ si et seulement si ses coordonnées vérifient le système formé par les équations des deux plans :

$$\{\begin{array}{l}x-y+z-2=0(1)\\ 2x+y-z-1=0(2)\end{array}$$

Sommons les équations (1) et (2) membre à membre :

$$(x+2x)+(-y+y)+(z-z)-2-1=0⟺3x-3=0⟺x=1$$

En remplaçant $x$ par 1 dans l'équation (1) :

$$1-y+z-2=0⟺y=z-1$$

Posons $z=t$ comme paramètre réel ($t\in \mathbb{R}$). On obtient la représentation paramétrique :

$$\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-1+t\\ z=t\end{array}(t\in \mathbb{R})$$

• L'intersection ${\mathcal{P}}_1\cap {\mathcal{P}}_2\cap {\mathcal{P}}_3$ est l'intersection de la droite $\Delta ={\mathcal{P}}_1\cap {\mathcal{P}}_2$ avec le plan ${\mathcal{P}}_3$. Injectons les expressions de $x$, $y$ et $z$ de la droite $\Delta$ dans l'équation de ${\mathcal{P}}_3$ :

$$(1)+2(-1+t)-t-3=0⟺1-2+2t-t-3=0⟺t-4=0⟺t=4$$

La valeur du paramètre est $t=4$. L'intersection est donc un point unique $S$. Calculons ses coordonnées :

$$x_S=1,y_S=-1+4=3,z_S=4$$

L'intersection des trois plans est le point $S(1,3,4)$.