Problème — Intersection de deux plans et d'une droite

Géométrie dans l'espace · niveau 2

Énoncé

Problème — Intersection de deux plans et d'une droite. On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé. On considère les plans $P_{1}$ d'équation cartésienne $x - y + z - 2 = 0$ et $P_{2}$ d'équation cartésienne $2 x + y - z - 1 = 0$ .

Démontrer que les plans $P_{1}$ et $P_{2}$ se coupent selon une droite $Δ$ .
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $Δ$ .
On considère le plan $P_{3}$ d'équation cartésienne $x + 2 y - z - 3 = 0$ . Déterminer l'intersection $P_{1} \cap P_{2} \cap P_{3}$ .

Corrigé

Les vecteurs normaux respectifs des plans $P_{1}$ et $P_{2}$ sont $n_{1} (1, - 1, 1)$ et $n_{2} (2, 1, - 1)$ . Leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles (par exemple, $\frac{2}{1} = 2$ pour l'abscisse mais $\frac{1}{- 1} = - 1$ pour l'ordonnée). Les vecteurs normaux ne sont pas colinéaires, ce qui signifie que les deux plans ne sont pas parallèles. Ils se coupent donc selon une droite $Δ$ .

Un point $M (x, y, z)$ appartient à la droite $Δ$ si et seulement si ses coordonnées vérifient le système formé par les équations des deux plans :

${x - y + z - 2 = 0 (1) 2 x + y - z - 1 = 0 (2)$

Sommons les équations (1) et (2) membre à membre :

$(x + 2 x) + (- y + y) + (z - z) - 2 - 1 = 0 ⟺ 3 x - 3 = 0 ⟺ x = 1$

En remplaçant $x$ par 1 dans l'équation (1) :

$1 - y + z - 2 = 0 ⟺ y = z - 1$

Posons $z = t$ comme paramètre réel ( $t \in R$ ). On obtient la représentation paramétrique :

$⎩ ⎨ ⎧ x = 1 y = - 1 + t z = t (t \in R)$

L'intersection $P_{1} \cap P_{2} \cap P_{3}$ est l'intersection de la droite $Δ = P_{1} \cap P_{2}$ avec le plan $P_{3}$ . Injectons les expressions de $x$ , $y$ et $z$ de la droite $Δ$ dans l'équation de $P_{3}$ :

$(1) + 2 (- 1 + t) - t - 3 = 0 ⟺ 1 - 2 + 2 t - t - 3 = 0 ⟺ t - 4 = 0 ⟺ t = 4$

La valeur du paramètre est $t = 4$ . L'intersection est donc un point unique $S$ . Calculons ses coordonnées :

$x_{S} = 1, y_{S} = - 1 + 4 = 3, z_{S} = 4$

L'intersection des trois plans est le point $S (1, 3, 4)$ .