mathématiques (terminale) · Chapitre 8 · Exercice de TD

Problème — Minimisation d'une somme de carrés de distances

Géométrie dans l'espace · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Problème — Minimisation d'une somme de carrés de distances. On considère, dans un repère orthonormé de l'espace, la droite $D$ de représentation paramétrique :

$⎩ ⎨ ⎧ x = t y = 2 t z = 1 - t (t \in R)$

et deux points fixes $A (1, 1, 1)$ et $B (3, 5, 2)$ . On cherche à trouver un point $M$ sur la droite $D$ tel que la somme des carrés des distances de $M$ à $A$ et à $B$ soit minimale.

Soit $M (t)$ un point de la droite $D$ associé au paramètre $t$ . Exprimer $A M^{2}$ et $B M^{2}$ en fonction de $t$ .
En déduire l'expression de la fonction $f (t) = A M^{2} + B M^{2}$ .
Déterminer la valeur $t_{0}$ pour laquelle la fonction $f$ atteint son minimum.
Donner les coordonnées du point $M_{0}$ correspondant à ce minimum et calculer la valeur minimale de la fonction $f$ .

Corrigé

Les coordonnées de $M$ sont $M (t, 2 t, 1 - t)$ . Calculons le carré de la distance $A M$ :

$A M^{2} = (t - 1)^{2} + (2 t - 1)^{2} + (1 - t - 1)^{2} = (t^{2} - 2 t + 1) + (4 t^{2} - 4 t + 1) + t^{2} = 6 t^{2} - 6 t + 2$

Calculons de même le carré de la distance $B M$ :

$B M^{2} = (t - 3)^{2} + (2 t - 5)^{2} + (1 - t - 2)^{2} = (t^{2} - 6 t + 9) + (4 t^{2} - 20 t + 25) + (- t - 1)^{2} = t^{2} - 6 t + 9 + 4 t^{2} - 20 t + 25 + t^{2} + 2 t + 1 = 6 t^{2} - 24 t + 35$

La somme des carrés s'écrit :

$f (t) = A M^{2} + B M^{2} = (6 t^{2} - 6 t + 2) + (6 t^{2} - 24 t + 35) = 12 t^{2} - 30 t + 37$

La fonction $f (t)$ est une fonction polynomiale du second degré de la forme $a t^{2} + b t + c$ avec $a = 12$ , $b = - 30$ et $c = 37$ . Comme $a = 12 > 0$ , la fonction admet un unique minimum global atteint en :

$t_{0} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{- 30}{2 \times 12} = \frac{30}{24} = \frac{5}{4} = 1, 25$

Pour $t = 1, 25$ , les coordonnées du point $M_{0}$ minimisant la somme sont :

$x_{M_{0}} = 1, 25, y_{M_{0}} = 2 \times 1, 25 = 2, 5, z_{M_{0}} = 1 - 1, 25 = - 0, 25$

Le point cherché est $M_{0} (1, 25; 2, 5; - 0, 25)$ .

Calculons le minimum de la fonction $f$ :

$f (\frac{5}{4}) = 12 (\frac{5}{4})^{2} - 30 (\frac{5}{4}) + 37 = 12 \times \frac{25}{16} - \frac{150}{4} + 37 = \frac{75}{4} - \frac{150}{4} + \frac{148}{4} = \frac{73}{4} = 18, 25$

La somme minimale des carrés des distances est égale à $18, 25$ .

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