Problème — Positions relatives et angle formé par deux plans

• Les vecteurs normaux des plans ${\mathcal{P}}_1$ et ${\mathcal{P}}_2$ sont ${\overrightarrow{n}}_1(1,1,-2)$ et ${\overrightarrow{n}}_2(2,-1,1)$. Leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles. Les plans ne sont donc pas parallèles : ils se coupent selon une droite $D$.

Un point $M(x,y,z)$ est sur la droite $D$ si et seulement si ses coordonnées satisfont le système :

$$\{\begin{array}{l}x+y-2z+1=0(1)\\ 2x-y+z-3=0(2)\end{array}$$

Sommons les deux équations (1) et (2) :

$$3x-z-2=0⟹z=3x-2$$

Remplaçons $z$ par $3x-2$ dans l'équation (1) :

$$x+y-2(3x-2)+1=0⟺x+y-6x+4+1=0⟺y=5x-5$$

En prenant l'abscisse $x=t$ ($t\in \mathbb{R}$) comme paramètre, on obtient la représentation paramétrique de la droite d'intersection $D$ :

$$\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-5+5t\\ z=-2+3t\end{array}(t\in \mathbb{R})$$

• L'angle aigu $\theta$ formé par les deux plans est l'angle aigu formé par leurs vecteurs normaux ${\overrightarrow{n}}_1$ et ${\overrightarrow{n}}_2$. Son cosinus se déduit du produit scalaire, qui est lié à l'angle par la relation :

$$|{\overrightarrow{n}}_1\cdot {\overrightarrow{n}}_2|=\Vert {\overrightarrow{n}}_1\Vert \times \Vert {\overrightarrow{n}}_2\Vert \times \cos (\theta )⟹\cos (\theta )=\frac{|{\overrightarrow{n}}_1\cdot {\overrightarrow{n}}_2|}{\Vert {\overrightarrow{n}}_1\Vert \times \Vert {\overrightarrow{n}}_2\Vert }$$

Calculons chaque élément :

• ${\overrightarrow{n}}_1\cdot {\overrightarrow{n}}_2=1\times 2+1\times (-1)+(-2)\times 1=2-1-2=-1⟹|{\overrightarrow{n}}_1\cdot {\overrightarrow{n}}_2|=1$ ;
• $\Vert {\overrightarrow{n}}_1\Vert =\sqrt{1^2+1^2+(-2{)}^2}=\sqrt{6}$ ;
• $\Vert {\overrightarrow{n}}_2\Vert =\sqrt{2^2+(-1{)}^2+1^2}=\sqrt{6}$.

Par conséquent :

$$\cos (\theta )=\frac{1}{\sqrt{6}\times \sqrt{6}}=\frac{1}{6}\approx 0,167$$

L'angle aigu $\theta$ entre les plans vaut environ $\arccos (1/6)\approx 80,4^{\circ }$.

• La distance du point $A(1,2,3)$ au plan ${\mathcal{P}}_1$ d'équation $x+y-2z+1=0$ est donnée par la formule du cours :

$$d(A,{\mathcal{P}}_1)=\frac{|x_A+y_A-2z_A+1|}{\sqrt{1^2+1^2+(-2{)}^2}}=\frac{|1+2-2(3)+1|}{\sqrt{6}}=\frac{|4-6|}{\sqrt{6}}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}\text{ uniteˊs}$$

Injectons ensuite les coordonnées de $A(1,2,3)$ dans l'équation cartésienne du plan ${\mathcal{P}}_2$ d'équation $2x-y+z-3=0$ :

$$2(1)-(2)+(3)-3=2-2+3-3=0$$

Le résultat étant égal à 0, le point $A$ appartient au plan ${\mathcal{P}}_2$.