Problème — Tétraèdre régulier et produit scalaire

• Exprimons le vecteur $\overrightarrow{IJ}$ en utilisant la relation de Chasles par deux chemins différents :

$$\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CJ}$$

$$\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DJ}$$

Sommons ces deux égalités :

$$2\overrightarrow{IJ}=(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB})+(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD})+(\overrightarrow{CJ}+\overrightarrow{DJ})$$

Comme $I$ est le milieu de $[AB]$, on a $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$. Comme $J$ est le milieu de $[CD]$, on a $\overrightarrow{CJ}+\overrightarrow{DJ}=\overrightarrow{0}$. Il reste :

$$2\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}⟹\overrightarrow{IJ}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD})$$

Calculons le produit scalaire avec $\overrightarrow{AB}$ :

$$2\overrightarrow{IJ}\cdot \overrightarrow{AB}=(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD})\cdot \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{AB}$$

Les triangles $ABC$ et $ABD$ étant équilatéraux de côté $a$ :

• $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}=AC\times AB\times \cos (\frac{\pi }{3})=a\times a\times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}{a}^2$ ;
• $\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BD}\cdot (\overrightarrow{AB})=-\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{BA}=-BD\times BA\times \cos (\frac{\pi }{3})=-a\times a\times \frac{1}{2}=-\frac{1}{2}{a}^2$.

Ainsi, $2\overrightarrow{IJ}\cdot \overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}{a}^2-\frac{1}{2}{a}^2=0$, donc $\overrightarrow{IJ}$ est orthogonal à $\overrightarrow{AB}$.

Reprenons la même relation $2\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}$ et calculons cette fois le produit scalaire avec $\overrightarrow{CD}$ :

$$2\overrightarrow{IJ}\cdot \overrightarrow{CD}=(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD})\cdot \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{CD}$$

Les triangles $ACD$ et $BCD$ étant équilatéraux de côté $a$ :

• $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CD}=-CA\times CD\times \cos (\frac{\pi }{3})=-a\times a\times \frac{1}{2}=-\frac{1}{2}{a}^2$ ;
• $\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{CD}=(-\overrightarrow{DB})\cdot (-\overrightarrow{DC})=\overrightarrow{DB}\cdot \overrightarrow{DC}=DB\times DC\times \cos (\frac{\pi }{3})=a\times a\times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}{a}^2$.

Ainsi, $2\overrightarrow{IJ}\cdot \overrightarrow{CD}=-\frac{1}{2}{a}^2+\frac{1}{2}{a}^2=0$, donc $\overrightarrow{IJ}$ est aussi orthogonal à $\overrightarrow{CD}$.

• Le triangle $ABC$ est équilatéral de côté $a$, l'angle en $A$ vaut $60^{\circ }$ (ou $\frac{\pi }{3}$ radians). Le produit scalaire est :

$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\Vert \overrightarrow{AB}\Vert \times \Vert \overrightarrow{AC}\Vert \times \cos (\widehat{BAC})=a\times a\times \cos \left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}{a}^2$$

• Par raison de symétrie du tétraèdre régulier, les distances de $D$ aux trois sommets $A$, $B$ et $C$ sont égales. Par conséquent, son projeté orthogonal $H$ sur le plan $(ABC)$ est équidistant de $A$, $B$ et $C$. Dans un triangle équilatéral, le seul point équidistant des trois sommets est son centre de gravité.

Exprimons les longueurs : Dans le triangle équilatéral $ABC$ de côté $a$, la longueur d'une médiane (qui est aussi hauteur) est $m=a\frac{\sqrt{3}}{2}$. Le centre de gravité $H$ est situé aux deux tiers de chaque médiane en partant du sommet. La distance $AH$ vaut :

$$AH=\frac{2}{3}m=\frac{2}{3}\times a\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$$

Le triangle $AHD$ est rectangle en $H$ car $(DH)$ est orthogonale au plan $(ABC)$. D'après le théorème de Pythagore dans ce triangle :

$$\begin{array}{rl}A{D}^2=A{H}^2+D{H}^2& ⟺a^2={\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)}^2+D{H}^2\\ & ⟺a^2=\frac{3a^2}{9}+D{H}^2⟺a^2=\frac{a^2}{3}+D{H}^2\end{array}$$

On en déduit :

$$D{H}^2=a^2-\frac{a^2}{3}=\frac{2}{3}{a}^2⟹DH=a\sqrt{\frac{2}{3}}=a\frac{\sqrt{6}}{3}$$

La hauteur d'un tétraèdre régulier de côté $a$ vaut donc $a\frac{\sqrt{6}}{3}$.