mathématiques (terminale) · Chapitre 9 · Application directe du cours

Application de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Probabilités · niveau 2

Énoncé

Application de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Un examen comporte un grand nombre de candidats. La note obtenue par un candidat choisi au hasard est modélisée par une variable aléatoire $X$ d'espérance $E (X) = 11$ et d'écart-type $σ (X) = 2$ . Donner une majoration de la probabilité que la note de ce candidat s'écarte de l'espérance de 3 points ou plus.

Corrigé

On cherche à majorer $P (∣ X - 11∣ \geq 3)$ . La variance de $X$ est $V (X) = σ (X)^{2} = 2^{2} = 4$ . D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, pour tout $ϵ > 0$ :

$P (∣ X - E (X) ∣ \geq ϵ) \leq \frac{V ( X )}{ϵ ^{2}}$

En appliquant avec $E (X) = 11$ , $V (X) = 4$ et $ϵ = 3$ , on obtient :

$P (∣ X - 11∣ \geq 3) \leq \frac{4}{3 ^{2}} = \frac{4}{9} \approx 0, 444$

La probabilité que la note s'écarte d'au moins 3 points de la moyenne est inférieure ou égale à $4/9$ .

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