Événements indépendants avec la loi binomiale

Probabilités · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Événements indépendants avec la loi binomiale. Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale $B (2, p)$ avec $p \in] 0, 1 [$ . Les événements $A : {X \geq 1}$ et $B : {X \leq 1}$ peuvent-ils être indépendants ?

Corrigé

Les valeurs possibles pour $X$ sont 0, 1 et 2, avec les probabilités suivantes :

$P (X = 0) = (1 - p)^{2}$ ; $P (X = 1) = 2 p (1 - p)$ ; $P (X = 2) = p^{2}$ .

Calculons les probabilités des événements :

$P (A) = P (X \geq 1) = 1 - P (X = 0) = 1 - (1 - p)^{2} = 2 p - p^{2} = p (2 - p)$ ;
$P (B) = P (X \leq 1) = P (X = 0) + P (X = 1) = (1 - p)^{2} + 2 p (1 - p) = (1 - p) (1 + p) = 1 - p^{2}$ .

L'événement intersection est $A \cap B = {X = 1}$ , d'où $P (A \cap B) = 2 p (1 - p)$ . Les événements $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $P (A \cap B) = P (A) \times P (B)$ :

$2 p (1 - p) = p (2 - p) (1 - p^{2}) ⟺ 2 p (1 - p) = p (2 - p) (1 - p) (1 + p)$

Puisque $p \in] 0, 1 [$ , on a $p \neq = 0$ et $1 - p \neq = 0$ . On peut simplifier l'égalité par $p (1 - p)$ :

$2 = (2 - p) (1 + p) ⟺ 2 = 2 + 2 p - p - p^{2} ⟺ p - p^{2} = 0 ⟺ p (1 - p) = 0$

Or, comme $p \in] 0, 1 [$ , $p (1 - p)$ n'est jamais nul. L'égalité est impossible. Les événements $A$ et $B$ ne sont donc jamais indépendants, quelle que soit la valeur de $p \in] 0, 1 [$ .