Événements indépendants avec la loi binomiale

Les valeurs possibles pour $X$ sont 0, 1 et 2, avec les probabilités suivantes :

• $P(X=0)=(1-p{)}^2$ ;   $P(X=1)=2p(1-p)$ ;   $P(X=2)=p^2$.

Calculons les probabilités des événements :

• $P(A)=P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-(1-p{)}^2=2p-p^2=p(2-p)$ ;
• $P(B)=P(X\le 1)=P(X=0)+P(X=1)=(1-p{)}^2+2p(1-p)=(1-p)(1+p)=1-p^2$.

L'événement intersection est $A\cap B=\{X=1\}$, d'où $P(A\cap B)=2p(1-p)$. Les événements $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$ :

$$2p(1-p)=p(2-p)(1-p^2)⟺2p(1-p)=p(2-p)(1-p)(1+p)$$

Puisque $p\in ]0,1[$, on a $p\ne 0$ et $1-p\ne 0$. On peut simplifier l'égalité par $p(1-p)$ :

$$2=(2-p)(1+p)⟺2=2+2p-p-p^2⟺p-p^2=0⟺p(1-p)=0$$

Or, comme $p\in ]0,1[$, $p(1-p)$ n'est jamais nul. L'égalité est impossible. Les événements $A$ et $B$ ne sont donc jamais indépendants, quelle que soit la valeur de $p\in ]0,1[$.