Loi binomiale - calculs de probabilités

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (terminale), chapitre 9 — Probabilités

Énoncé

Loi binomiale - calculs de probabilités. Une urne contient 3 boules blanches et 7 boules noires indiscernables au toucher. On effectue 4 tirages successifs d'une boule avec remise. Soit $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de boules blanches obtenues.

Préciser la loi suivie par la variable aléatoire $X$ et donner ses paramètres.
Calculer la probabilité d'obtenir exactement 2 boules blanches.
Calculer la probabilité d'obtenir au moins une boule blanche.

Corrigé

Chaque tirage est une épreuve de Bernoulli dont le succès est « obtenir une boule blanche », de probabilité $p = \frac{3}{10} = 0, 3$ , et l'échec est de probabilité $1 - p = 0, 7$ . Puisque les tirages sont effectués avec remise, ils sont identiques et indépendants. La variable aléatoire $X$ comptant le nombre de succès sur 4 répétitions suit donc la loi binomiale de paramètres $n = 4$ et $p = 0, 3$ , notée $B (4; 0, 3)$ .

On cherche à calculer $P (X = 2)$ :

$P (X = 2) = (2 4) p^{2} (1 - p)^{4 - 2} = 6 \times (0, 3)^{2} \times (0, 7)^{2} = 6 \times 0, 09 \times 0, 49 = 0, 2646$

La probabilité d'obtenir exactement 2 boules blanches est de 0,2646.

On cherche à calculer $P (X \geq 1)$ . Utilisons l'événement contraire, qui est ${X = 0}$ :

$P (X \geq 1) = 1 - P (X = 0) = 1 - (0 4) (0, 3)^{0} (0, 7)^{4} = 1 - 1 \times 1 \times 0, 2401 = 0, 7599$

La probabilité d'obtenir au moins une boule blanche est de 0,7599.

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