Problème — Introduction aux chaînes de Markov à deux états

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques (terminale), chapitre 9 — Probabilités

Énoncé

Problème — Introduction aux chaînes de Markov à deux états. Dans un pays, deux opérateurs de téléphonie mobile A et B se partagent le marché. On constate chaque année que :

$15%$ des clients de l'opérateur A changent pour B, tandis que $85%$ lui restent fidèles ;
$20%$ des clients de l'opérateur B changent pour A, tandis que $80%$ lui restent fidèles.

Initialement (à l'année 0), l'opérateur A détient $70%$ des clients et B en détient $30%$ . Pour tout entier $n \geq 0$ , on note $a_{n}$ la part de marché de A et $b_{n}$ la part de marché de B à l'année $n$ .

Justifier que pour tout entier $n \geq 0$ , $a_{n} + b_{n} = 1$ .
Exprimer $a_{n + 1}$ en fonction de $a_{n}$ et $b_{n}$ , puis démontrer que :

$a_{n + 1} = 0, 65 a_{n} + 0, 2$

Soit la suite $(u_{n})$ définie pour tout entier $n \geq 0$ par $u_{n} = a_{n} - \frac{4}{7}$ . Montrer que la suite $(u_{n})$ est géométrique de raison $0, 65$ .
Exprimer $u_{n}$ puis $a_{n}$ en fonction de $n$ .
Déterminer la limite de la suite $(a_{n})$ lorsque $n \to + \infty$ . Interpréter ce résultat.

Corrigé

Les deux opérateurs A et B se partageant l'intégralité du marché sans perte de clients globale, la somme des proportions de clients de A et B est égale à la totalité du marché, soit $a_{n} + b_{n} = 1$ pour tout $n \geq 0$ .

À l'année $n + 1$ , les clients de A proviennent :

des clients fidèles de A de l'année précédente (proportion $0, 85 a_{n}$ ) ;
des clients de B ayant migré chez A (proportion $0, 20 b_{n}$ ).

D'où :

$a_{n + 1} = 0, 85 a_{n} + 0, 20 b_{n}$

Comme $b_{n} = 1 - a_{n}$ , on obtient :

$a_{n + 1} = 0, 85 a_{n} + 0, 20 (1 - a_{n}) = 0, 85 a_{n} + 0, 2 - 0, 2 a_{n} = 0, 65 a_{n} + 0, 2$

Exprimons $u_{n + 1}$ en fonction de $u_{n}$ :

$u_{n + 1} = a_{n + 1} - \frac{4}{7} = (0, 65 a_{n} + 0, 2) - \frac{4}{7} = 0, 65 a_{n} + \frac{1}{5} - \frac{4}{7} = 0, 65 a_{n} + \frac{7 - 20}{35} = 0, 65 a_{n} - \frac{13}{35}$

Factorisons par $0, 65 = \frac{13}{20}$ :

$u_{n + 1} = 0, 65 (a_{n} - \frac{13/35}{13/20}) = 0, 65 (a_{n} - \frac{13}{35} \times \frac{20}{13}) = 0, 65 (a_{n} - \frac{20}{35}) = 0, 65 (a_{n} - \frac{4}{7}) = 0, 65 u_{n}$

La suite $(u_{n})$ est donc géométrique de raison $q = 0, 65$ .

Le premier terme de la suite est :

$u_{0} = a_{0} - \frac{4}{7} = 0, 7 - \frac{4}{7} = \frac{7}{10} - \frac{4}{7} = \frac{49 - 40}{70} = \frac{9}{70}$

Par propriété des suites géométriques :

$u_{n} = u_{0} \times q^{n} = \frac{9}{70} \times (0, 65)^{n}$

On en déduit que :

$a_{n} = u_{n} + \frac{4}{7} = \frac{9}{70} \times (0, 65)^{n} + \frac{4}{7}$

Comme $- 1 < 0, 65 < 1$ , on a $lim_{n \to + \infty} (0, 65)^{n} = 0$ . Par théorème d'opération sur les limites :

$n \to + \infty lim a_{n} = \frac{4}{7} \approx 0, 571$

À long terme, la part de marché de l'opérateur A se stabilisera autour de $57, 1%$ et celle de l'opérateur B autour de $42, 9%$ , indépendamment des parts de marché de départ.

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