mathématiques (terminale) · Chapitre 9 · Application directe du cours

Problème — Jeu de casino et espérance de gain

Probabilités · niveau 2

Énoncé

Problème — Jeu de casino et espérance de gain. Un joueur participe à un jeu dans un casino. Il lance un dé équilibré à 6 faces :

s'il obtient un 6, il gagne 10 euros ;
s'il obtient 4 ou 5, il gagne 2 euros ;
s'il obtient 1, 2 ou 3, il perd 5 euros.

Soit $X$ la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur à l'issue d'une partie. Déterminer la loi de probabilité de $X$ .
Calculer l'espérance mathématique $E (X)$ . Le jeu est-il favorable au joueur ?
Le joueur effectue 5 parties successives et indépendantes. On note $Y$ le nombre de parties gagnantes (les parties où le joueur réalise un gain strictement positif).

Préciser la loi suivie par la variable aléatoire $Y$ .
Calculer la probabilité que le joueur gagne au moins 4 parties sur les 5 (arrondir à $1 0^{- 4}$ ).
Quelle est la probabilité que le joueur perde de l'argent sur l'ensemble des 5 parties dans le cas extrême où il ne gagne aucune partie ?

Corrigé

Les valeurs possibles pour $X$ sont $10$ , $2$ et $- 5$ . Les probabilités associées sont :

$P (X = 10) = P ({6}) = \frac{1}{6}$ ;
$P (X = 2) = P ({4, 5}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ ;
$P (X = - 5) = P ({1, 2, 3}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ .

La loi de probabilité de $X$ est donnée par le tableau :

$x_{i}$	$- 5$	$2$	$10$
$P (X = x_{i})$	$1/2$	$1/3$	$1/6$

L'espérance mathématique est :

$E (X) = - 5 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{1}{3} + 10 \times \frac{1}{6} = - \frac{15}{6} + \frac{4}{6} + \frac{10}{6} = - \frac{1}{6} \approx - 0, 17 euro$

Puisque $E (X) < 0$ , le jeu est défavorable au joueur (il perd en moyenne environ 17 centimes d'euro par partie).

Répétition de 5 épreuves de Bernoulli :

Une partie est gagnante si le gain est strictement positif, soit si $X \in {2, 10}$ . La probabilité de succès pour une partie est :

$p = P (X = 2) + P (X = 10) = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = 0, 5$

Comme les parties sont identiques et indépendantes, la variable aléatoire $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 5$ et $p = 0, 5$ , soit $B (5; 0, 5)$ .

On cherche $P (Y \geq 4)$ :

$P (Y \geq 4) = P (Y = 4) + P (Y = 5) = (4 5) (0, 5)^{4} (0, 5)^{1} + (5 5) (0, 5)^{5} (0, 5)^{0} = 5 \times (0, 5)^{5} + 1 \times (0, 5)^{5} = 6 \times 0, 03125 = 0, 1875$

La probabilité que le joueur gagne au moins 4 parties est de 0,1875.

Si le joueur ne gagne aucune partie ( $Y = 0$ ), cela signifie qu'il a perdu à chacune des 5 parties (il a obtenu 5 fois l'issue $- 5$ euros). La probabilité de cet événement est :

$P (Y = 0) = (0 5) (0, 5)^{0} (0, 5)^{5} = 0, 03125$

Dans ce cas, le gain total sur les 5 parties est $5 \times (- 5) = - 25$ euros.

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