Problème — Modélisation médicale (Faux positifs et Faux négatifs)

• L'arbre pondéré traduisant la situation est :

• D'après la formule des probabilités totales, $\mathcal{P}=\{M,\bar{M}\}$ constituant une partition de l'univers :

$$\begin{array}{rl}P(T)& =P(M\cap T)+P(\bar{M}\cap T)\\ & =P(M)\times P_M(T)+P(\bar{M})\times P_{\bar{M}}(T)\\ & =0,01\times 0,99+0,99\times 0,05\\ & =0,0099+0,0495=0,0594\end{array}$$

La probabilité que le test soit positif est de 0,0594 (soit $5,94\%$).

• On cherche à calculer la probabilité conditionnelle $P_T(M)$ :

$$P_T(M)=\frac{P(M\cap T)}{P(T)}=\frac{0,0099}{0,0594}=\frac{99}{594}=\frac{1}{6}\approx 0,167$$

Commentaire : Bien que le test soit individuellement très performant (99% de sensibilité et 95% de spécificité), un individu dont le test est positif n'a qu'environ $16,7\%$ de chances d'être réellement malade. Cela est dû au fait que la maladie est rare ($1\%$) : le nombre absolu de faux positifs ($4,95\%$) est bien plus important que le nombre de vrais positifs ($0,99\%$).

• On cherche à calculer la probabilité d'être malade sachant que le test est négatif, soit $P_{\bar{T}}(M)$ :

$$P_{\bar{T}}(M)=\frac{P(M\cap \bar{T})}{P(\bar{T})}=\frac{P(M)\times P_M(\bar{T})}{1-P(T)}=\frac{0,01\times 0,01}{1-0,0594}=\frac{0,0001}{0,9406}\approx 0,000106$$

La probabilité qu'un patient ayant un test négatif soit quand même malade est extrêmement faible (environ $0,01\%$).