Problème — Modélisation médicale (Faux positifs et Faux négatifs)

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques (terminale), chapitre 9 — Probabilités

Énoncé

Problème — Modélisation médicale (Faux positifs et Faux négatifs). Dans une population, une maladie touche $1%$ des individus. On met au point un test de dépistage de cette maladie :

si un individu est malade, le test est positif dans $99%$ des cas (sensibilité du test) ;
si un individu est sain, le test est négatif dans $95%$ des cas (spécificité du test).

On choisit un individu au hasard. On note $M$ l'événement « l'individu est malade » et $T$ « le test est positif ».

Modéliser la situation par un arbre pondéré.
Calculer la probabilité que le test soit positif pour un individu choisi au hasard.
Si le test d'un individu est positif, quelle est la probabilité qu'il soit réellement malade ? Commenter le résultat obtenu.
Si le test est négatif, quelle est la probabilité que l'individu soit tout de même malade (cas d'un faux négatif) ?

Corrigé

L'arbre pondéré traduisant la situation est :

D'après la formule des probabilités totales, $P = {M, M ˉ}$ constituant une partition de l'univers :

$P (T) = P (M \cap T) + P (M ˉ \cap T) = P (M) \times P_{M} (T) + P (M ˉ) \times P_{M ˉ} (T) = 0, 01 \times 0, 99 + 0, 99 \times 0, 05 = 0, 0099 + 0, 0495 = 0, 0594$

La probabilité que le test soit positif est de 0,0594 (soit $5, 94%$ ).

On cherche à calculer la probabilité conditionnelle $P_{T} (M)$ :

$P_{T} (M) = \frac{P ( M \cap T )}{P ( T )} = \frac{0 , 0099}{0 , 0594} = \frac{99}{594} = \frac{1}{6} \approx 0, 167$

Commentaire : Bien que le test soit individuellement très performant (99% de sensibilité et 95% de spécificité), un individu dont le test est positif n'a qu'environ $16, 7%$ de chances d'être réellement malade. Cela est dû au fait que la maladie est rare ( $1%$ ) : le nombre absolu de faux positifs ( $4, 95%$ ) est bien plus important que le nombre de vrais positifs ( $0, 99%$ ).

On cherche à calculer la probabilité d'être malade sachant que le test est négatif, soit $P_{T ˉ} (M)$ :

$P_{T ˉ} (M) = \frac{P ( M \cap T ˉ )}{P ( T ˉ )} = \frac{P ( M ) \times P _{M} ( T ˉ )}{1 - P ( T )} = \frac{0 , 01 \times 0 , 01}{1 - 0 , 0594} = \frac{0 , 0001}{0 , 9406} \approx 0, 000106$

La probabilité qu'un patient ayant un test négatif soit quand même malade est extrêmement faible (environ $0, 01%$ ).

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.