La bille dans le tube tournant : qui paie l'énergie ?

La stratégie. Dans le référentiel du tube, la bille n'a qu'un degré de liberté, $r$ : la projection radiale donne le mouvement, la projection orthoradiale donne la réaction. Ensuite, on fait deux bilans d'énergie, un par référentiel, et l'on regarde qui travaille dans chacun.

1) Le mouvement. Dans ${\mathcal{R}}^{\prime }$, ${\overrightarrow{v}}_{\text{rel}}=\dot{r}{\overrightarrow{e}}_r$ et ${\overrightarrow{a}}_{\text{rel}}=\ddot{r}{\overrightarrow{e}}_r$. Forces : le poids $-mg{\overrightarrow{e}}_z$ ; la réaction du tube, sans composante radiale puisqu'il n'y a pas de frottement, $\overrightarrow{N}=N_{\theta }{\overrightarrow{e}}_{\theta }+N_z{\overrightarrow{e}}_z$ ; la force centrifuge $m{\Omega }^{2}r{\overrightarrow{e}}_r$ ; la force de Coriolis $-2m\Omega {\overrightarrow{e}}_z\wedge \dot{r}{\overrightarrow{e}}_r=-2m\Omega \dot{r}{\overrightarrow{e}}_{\theta }$. Les projections donnent $$m\ddot{r}=m{\Omega }^{2}r,0=N_{\theta }-2m\Omega \dot{r},0=N_z-mg.$$ La réaction a donc une composante verticale, qui porte le poids, et une composante orthoradiale, qui équilibre la force de Coriolis. L'équation radiale, $\ddot{r}-{\Omega }^{2}r=0$, n'a pas de rappel : avec $r(0)=r_0$ et $\dot{r}(0)=0$, $$r(t)=r_0\cosh (\Omega t),\dot{r}(t)=\Omega r_0\sinh (\Omega t)=\Omega \sqrt{r^2-r_0^2}.$$ (cosinus et sinus hyperboliques). La bille sort quand $\cosh (\Omega t)=L/r_0=10$, soit $\Omega t=2,993$ et $t=0,998\mathrm{s}$, avec la vitesse relative $\dot{r}=\Omega \sqrt{L^2-r_0^2}=3\times 0,995=2,98\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$.

2) La réaction orthoradiale. La projection orthoradiale vient de la donner : $N_{\theta }=2m\Omega \dot{r}$, positive, dans le sens de rotation. Par le moment cinétique : dans ${\mathcal{R}}^{\prime }$, le moment cinétique de la bille par rapport à $O$ est $\overrightarrow{OM}\wedge m{\overrightarrow{v}}_{\text{rel}}=r{\overrightarrow{e}}_r\wedge m\dot{r}{\overrightarrow{e}}_r=\overrightarrow{0}$ à chaque instant ; la somme des moments par rapport à l'axe $Oz$ de toutes les forces, inertie comprise, est donc nulle. Le poids et $N_z$ sont verticaux, parallèles à l'axe : moment nul par rapport à $Oz$. La force centrifuge est radiale : moment nul. Restent $r{N}_{\theta }$ et le moment de la force de Coriolis, $-r\times 2m\Omega \dot{r}$ : leur somme est nulle, d'où à nouveau $N_{\theta }=2m\Omega \dot{r}$. À la sortie : $$N_{\theta }=2\times 0,05\times 3\times 2,985=0,90\mathrm{N},mg=0,49\mathrm{N}.$$ La paroi pousse la bille latéralement avec près de deux fois son poids : dire que la réaction du tube « équilibre le poids » n'est vrai que de sa composante verticale.

3) Le couple moteur. Par la loi des actions réciproques, la bille exerce sur le tube la force $-N_{\theta }{\overrightarrow{e}}_{\theta }$, à la distance $r$ de l'axe : un moment $-r{N}_{\theta }$ par rapport à $Oz$, qui freine la rotation. Pour que $\Omega$ reste constant, le moteur doit fournir le couple opposé : $$\Gamma =r{N}_{\theta }=2m\Omega r\dot{r},{\mathcal{P}}_{\text{mot}}=\Gamma \Omega =2m{\Omega }^{2}r\dot{r}.$$ À la sortie, $\Gamma =2\times 0,05\times 3\times 1\times 2,985=0,90\mathrm{N}\mathrm{m}$ et ${\mathcal{P}}_{\text{mot}}=2,7\mathrm{W}$. (On suppose le tube sans frottement sur son axe ; son inertie propre ne coûte rien, puisque $\Omega$ est constant.)

4) Le bilan dans ${\mathcal{R}}^{\prime }$. La réaction $N_{\theta }{\overrightarrow{e}}_{\theta }+N_z{\overrightarrow{e}}_z$ et le poids sont orthogonaux à ${\overrightarrow{v}}_{\text{rel}}=\dot{r}{\overrightarrow{e}}_r$ ; la force de Coriolis l'est toujours : aucune des trois ne travaille dans ${\mathcal{R}}^{\prime }$. La force centrifuge dérive de $-\frac{1}{2}m{\Omega }^2{r}^2$. Le théorème de l'énergie cinétique dans ${\mathcal{R}}^{\prime }$ donne donc la conservation de l'énergie mécanique relative : $$\frac{1}{2}m{\dot{r}}^2-\frac{1}{2}m{\Omega }^2{r}^2=-\frac{1}{2}m{\Omega }^2{r}_0^2,{\dot{r}}^2={\Omega }^2(r^2-r_0^2),$$ la vitesse trouvée au 1). L'énergie cinétique relative acquise vaut $\frac{1}{2}m{\Omega }^2(L^2-r_0^2)=\frac{1}{2}\times 0,05\times 9\times 0,99=0,223\mathrm{J}$ : c'est le travail de la force centrifuge. Dans ${\mathcal{R}}^{\prime }$, le moteur n'apparaît nulle part.

5) Le bilan dans $\mathcal{R}$. La vitesse absolue est $\dot{r}{\overrightarrow{e}}_r+\Omega r{\overrightarrow{e}}_{\theta }$ (composition des vitesses) et l'énergie cinétique $\frac{1}{2}m({\dot{r}}^2+{\Omega }^2{r}^2)$. Entre $r_0$ (où $\dot{r}=0$) et $L$ : $$\Delta E_c=\frac{1}{2}m\left[{\Omega }^2(L^2-r_0^2)+{\Omega }^2{L}^2\right]-\frac{1}{2}m{\Omega }^2{r}_0^2=m{\Omega }^2(L^2-r_0^2)=0,446\mathrm{J}.$$ Dans $\mathcal{R}$, il n'y a pas de force d'inertie ; le poids et $N_z$ ne travaillent pas, mais $N_{\theta }$ travaille, puisque la bille a la vitesse orthoradiale $\Omega r$ : sa puissance est $N_{\theta }\Omega r=2m{\Omega }^{2}r\dot{r}$, exactement la puissance du moteur. Le théorème de l'énergie cinétique le confirme : ${\int }_0^{t}2m{\Omega }^{2}r\dot{r}\mathrm{d}t=m{\Omega }^2(L^2-r_0^2)$. Le moteur fournit $0,446\mathrm{J}$, le double des $0,223\mathrm{J}$ d'énergie cinétique relative : l'autre moitié est l'énergie cinétique orthoradiale $\frac{1}{2}m{\Omega }^2(L^2-r_0^2)$ que la bille emporte en tournant avec le tube. La même force $N_{\theta }$ ne travaille pas dans ${\mathcal{R}}^{\prime }$ et travaille dans $\mathcal{R}$ : le travail d'une force dépend du référentiel.

6) Les cas limites. La solution générale de $\ddot{r}={\Omega }^{2}r$ est $r=A{\mathrm{e}}^{\Omega t}+B{\mathrm{e}}^{-\Omega t}$ ; avec $r(0)=r_0$ et $\dot{r}(0)=v_0$ : $$r(t)=\frac{r_0+v_0/\Omega }{2}{\mathrm{e}}^{\Omega t}+\frac{r_0-v_0/\Omega }{2}{\mathrm{e}}^{-\Omega t}.$$ Si $v_0<0$, la bille commence par se rapprocher de l'axe. Si $-\Omega r_0<v_0<0$, le coefficient de ${\mathrm{e}}^{\Omega t}$ reste positif : elle atteint une distance minimale puis repart (pour $v_0=-\Omega r_0/2$, le minimum vaut $0,87r_0$, à $\Omega t=0,55$). Pour $v_0=-\Omega r_0$, ce coefficient est nul : $r=r_0{\mathrm{e}}^{-\Omega t}$, la bille tend vers l'axe sans jamais l'atteindre. Pour $v_0<-\Omega r_0$, elle l'atteint en un temps fini. Lecture énergétique : l'énergie potentielle centrifuge est une parabole renversée, de maximum en $r=0$ : l'axe est un équilibre instable, et le cas $v_0=-\Omega r_0$, d'énergie relative nulle, est celui de la bille qui arrive au sommet de la bosse avec une vitesse qui tend vers zéro, comme un pendule lancé exactement vers sa position haute.

Ce que l'exercice installe. Dans un référentiel tournant, la projection orthoradiale du principe fondamental (ou le moment cinétique relatif) donne la réaction qui reprend la force de Coriolis ; celle-ci, transmise au tube, est le couple que le moteur fournit. Et deux bilans d'énergie cohérents : dans ${\mathcal{R}}^{\prime }$, la réaction ne travaille pas et la force centrifuge fournit l'énergie cinétique relative ; dans $\mathcal{R}$, la réaction travaille et le moteur fournit le double.