La perle sur le cerceau tournant : une bifurcation

La stratégie. Un seul degré de liberté, $\theta$, et des forces qui, dans ${\mathcal{R}}^{\prime }$, soit ne travaillent pas, soit dérivent d'une énergie potentielle : l'énergie mécanique relative donne d'un coup l'équation du mouvement, les équilibres (zéros de $E_p^{\prime }$), leur stabilité (signe de $E_p^{\prime \prime }$) et les pulsations ($E_p^{\prime \prime }/m{R}^2$).

1) L'énergie mécanique relative. Dans ${\mathcal{R}}^{\prime }$, la perle se déplace sur le cerceau : ${\overrightarrow{v}}_{\text{rel}}$ est tangente au cerceau. Sans frottement, la réaction est orthogonale au cerceau, donc à ${\overrightarrow{v}}_{\text{rel}}$ : elle ne travaille pas. Elle a deux composantes, l'une dans le plan du cerceau, l'autre perpendiculaire à ce plan ; celle-ci équilibre la force de Coriolis, perpendiculaire au plan puisque $\overrightarrow{\Omega }$ et ${\overrightarrow{v}}_{\text{rel}}$ sont dans le plan. La force de Coriolis, orthogonale à ${\overrightarrow{v}}_{\text{rel}}$, ne travaille pas non plus. Restent le poids et la force centrifuge, qui dérivent d'énergies potentielles : avec $z=-R\cos \theta$ et $r=R\sin \theta$, $$E_p(\theta )=-mgR\cos \theta -\frac{1}{2}m{\Omega }^2{R}^2{\sin }^2\theta ,E_m=\frac{1}{2}m{R}^2{\dot{\theta }}^2+E_p(\theta )=\text{constante}.$$ Dans $\mathcal{R}$, la perle a en plus la vitesse $\Omega R\sin \theta$ perpendiculaire au plan du cerceau : la composante de la réaction perpendiculaire au plan travaille, et l'énergie de la perle n'est pas conservée ; c'est le moteur qui entretient la rotation qui la fournit, comme au tube de l'exercice précédent. En dérivant $E_m$ par rapport au temps et en simplifiant par $\dot{\theta }$ : $$m{R}^2\ddot{\theta }=-\frac{\mathrm{d}{E}_p}{\mathrm{d}\theta }=-mR\sin \theta \left(g-{\Omega }^{2}R\cos \theta \right).$$

2) Les équilibres et leur stabilité. Ils annulent $\frac{\mathrm{d}{E}_p}{\mathrm{d}\theta }=mR\sin \theta (g-{\Omega }^{2}R\cos \theta )$ : $\theta =0$, $\theta =\pi$, et, si $\Omega >{\Omega }_c$, $\theta =\pm {\theta }_e$ avec $$\cos {\theta }_e=\frac{g}{{\Omega }^{2}R}=\frac{{\Omega }_c^2}{{\Omega }^2}.$$ La dérivée seconde vaut $\frac{{\mathrm{d}}^2{E}_p}{\mathrm{d}{\theta }^2}=mR\left[\cos \theta (g-{\Omega }^{2}R\cos \theta )+{\Omega }^{2}R{\sin }^2\theta \right]$. En $\theta =0$ : $mR(g-{\Omega }^{2}R)$, positive si et seulement si $\Omega <{\Omega }_c$. En $\theta =\pi$ : $-mR(g+{\Omega }^{2}R)<0$, toujours instable. En $\pm {\theta }_e$ : le premier terme s'annule, reste $m{\Omega }^2{R}^2{\sin }^2{\theta }_e>0$, stable. Bilan : sous ${\Omega }_c$, le bas du cerceau est la seule position stable ; au-delà, il devient instable et deux positions stables symétriques apparaissent, qui s'écartent continûment du bas. C'est une bifurcation (en fourche) : la position d'équilibre suivie par la perle change de nature à la vitesse critique ${\Omega }_c$.

3) Les petites oscillations. Au voisinage d'un équilibre stable ${\theta }_0$, l'équation du mouvement linéarisée s'écrit $m{R}^2\ddot{\epsilon }=-E_p^{\prime \prime }({\theta }_0)\epsilon$, de pulsation ${\omega }^2=E_p^{\prime \prime }({\theta }_0)/(m{R}^2)$ : autour de $0$, pour $\Omega <{\Omega }_c$ : $${\omega }^2=\frac{g}{R}-{\Omega }^2={\Omega }_c^2-{\Omega }^2;$$ autour de ${\theta }_e$, pour $\Omega >{\Omega }_c$ : $$\omega =\Omega \sin {\theta }_e=\Omega \sqrt{1-\frac{{\Omega }_c^4}{{\Omega }^4}}.$$ Cas limites. Pour $\Omega =0$, on retrouve le pendule simple, $\omega =\sqrt{g/R}$. Quand $\Omega \to {\Omega }_c$, $\omega \to 0$ des deux côtés : le fond du puits de potentiel s'aplatit, la force de rappel disparaît, les oscillations deviennent infiniment lentes ; c'est la signature d'une bifurcation. Quand $\Omega \to \infty$, $\cos {\theta }_e\to 0$, ${\theta }_e\to 90^{\circ }$ : la perle monte à la hauteur du centre, sans l'atteindre, et $\omega \approx \Omega$. La profondeur sous $O$ vaut $R\cos {\theta }_e=g/{\Omega }^2$ : elle ne dépend pas de $R$. C'est la même condition que pour un pendule conique : la composante verticale de la force normale porte le poids, sa composante horizontale fournit l'accélération centripète, et le rapport des deux ne fait intervenir que $g$ et $\Omega$.

4) Le régulateur à boules. Pour $R=10\mathrm{cm}$ : ${\Omega }_c=\sqrt{9,81/0,1}=9,90\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$, soit $94,6$ tours par minute.

• À $\Omega =1,2{\Omega }_c$ : $\cos {\theta }_e=1/1,44$, ${\theta }_e=46,0^{\circ }$, profondeur $g/{\Omega }^2=6,9\mathrm{cm}$, et $\omega =1,2\times 9,90\times \sin 46,0^{\circ }=8,55\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$.
• À $\Omega =2{\Omega }_c$ : $\cos {\theta }_e=1/4$, ${\theta }_e=75,5^{\circ }$, profondeur $2,5\mathrm{cm}$, $\omega =19,2\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$.
• Pour comparaison, sous la vitesse critique, à $\Omega =0,8{\Omega }_c$ : $\omega =0,6{\Omega }_c=5,94\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$.

Dans le régulateur de Watt, deux boules au bout de tiges articulées sur l'axe que la machine fait tourner obéissent à la même relation $\cos {\theta }_e=g/({\Omega }^{2}R)$. Quand la machine s'emballe, les boules s'écartent et montent ; un levier relié aux tiges ferme en partie l'admission de vapeur, et la machine ralentit. La position des boules mesure la vitesse de rotation, au-delà de ${\Omega }_c$ seulement, et d'autant plus finement que l'on en est proche.

Ce que l'exercice installe. En rotation uniforme, l'énergie mécanique relative, avec l'énergie potentielle centrifuge $-\frac{1}{2}m{\Omega }^2{r}^2$, se conserve dès que les autres forces ne travaillent pas dans ${\mathcal{R}}^{\prime }$ : la réaction d'une liaison sans frottement et la force de Coriolis n'y travaillent jamais, alors que la réaction travaille dans $\mathcal{R}$. Le graphe de $E_p$ donne les équilibres, la stabilité et les pulsations ; la vitesse critique ${\Omega }_c=\sqrt{g/R}$ sépare deux régimes, et la pulsation s'y annule.