Le pendule-accéléromètre : freinage d'urgence, puis virage

La stratégie. On commence par le mouvement du référentiel : en translation, une seule force d'inertie, uniforme, qui se fond avec le poids en une pesanteur apparente ; en rotation, une force centrifuge et, dès que le point bouge, une force de Coriolis. Le reste est la mécanique du pendule de première année.

1) Le freinage : une translation. En ligne droite, la carrosserie ne tourne pas : tous ses points ont, à chaque instant, la même accélération que l'un d'eux, $O^{\prime }$. Donc $\overrightarrow{\Omega }=\overrightarrow{0}$ et $${\overrightarrow{f}}_{ic}=\overrightarrow{0},{\overrightarrow{f}}_{ie}=-m{\overrightarrow{a}}_{O^{\prime }}.$$ On oriente ${\overrightarrow{e}}_x$ vers l'avant. La voiture freine : ${\overrightarrow{a}}_{O^{\prime }}=-a{\overrightarrow{e}}_x$, dirigée vers l'arrière, d'où ${\overrightarrow{f}}_{ie}=+ma{\overrightarrow{e}}_x$ : la force d'inertie est dirigée vers l'avant, c'est elle qui projette les passagers vers le pare-brise. Elle est uniforme et proportionnelle à la masse, comme le poids. À l'équilibre relatif, ${\overrightarrow{a}}_{\text{rel}}=\overrightarrow{0}$ : $$\overrightarrow{0}=\overrightarrow{T}+m\overrightarrow{g}+ma{\overrightarrow{e}}_x=\overrightarrow{T}+m(\overrightarrow{g}-{\overrightarrow{a}}_{O^{\prime }}).$$ Le poids et la force d'inertie se regroupent en $m{\overrightarrow{g}}_{\text{app}}$, avec $${\overrightarrow{g}}_{\text{app}}=\overrightarrow{g}-{\overrightarrow{a}}_{O^{\prime }},g_{\text{app}}=\sqrt{g^2+a^2}=\sqrt{9,81^2+8^2}=12,66\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}=1,29g.$$ Le fil s'aligne sur ${\overrightarrow{g}}_{\text{app}}$ : il s'incline vers l'avant de l'angle $$\tan \alpha =\frac{a}{g}=\frac{8}{9,81},\alpha =39,2^{\circ },$$ et sa tension vaut $T=m{g}_{\text{app}}=1,29mg$. Cas limites : si $a\to 0$, $\alpha \to 0$ et $g_{\text{app}}\to g$, on retrouve le fil à plomb ; si $a=g$, le fil est à $45^{\circ }$ et $g_{\text{app}}=\sqrt{2}g$. L'angle mesure l'accélération, et le fil s'incline dans le sens opposé à celle du véhicule.

2) Les petites oscillations. Dans ${\mathcal{R}}^{\prime }$, le pendule est soumis à la tension et à $m{\overrightarrow{g}}_{\text{app}}$, force constante et uniforme : c'est exactement un pendule simple dans une pesanteur $g_{\text{app}}$, dont la verticale serait la direction de ${\overrightarrow{g}}_{\text{app}}$. Sa période est donc $$T_{\text{frein}}=2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{\text{app}}}}=2\pi \sqrt{\frac{0,15}{12,66}}=0,684\mathrm{s},T_0=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}=0,777\mathrm{s}.$$ Le pendule bat plus vite pendant le freinage, de $12\%$ : la pesanteur apparente est plus forte.

3) Le lâcher depuis la verticale. La tension, orthogonale à la vitesse relative, ne travaille pas dans ${\mathcal{R}}^{\prime }$ ; la force $m{\overrightarrow{g}}_{\text{app}}$, constante et uniforme, dérive de l'énergie potentielle $-m{\overrightarrow{g}}_{\text{app}}\cdot \overrightarrow{O^{\prime }M}$. En notant $\psi$ l'angle du fil avec la direction de ${\overrightarrow{g}}_{\text{app}}$, l'énergie mécanique relative se conserve : $$\frac{1}{2}m{L}^2{\dot{\psi }}^2-m{g}_{\text{app}}L\cos \psi =\text{constante}.$$ À l'instant initial, le fil est vertical, donc à $\psi =-\alpha$ de la « verticale apparente », et immobile. L'objet s'arrête à nouveau quand $\cos \psi$ reprend la même valeur, soit en $\psi =+\alpha$ : le pendule oscille exactement entre la verticale et l'inclinaison $2\alpha =78,4^{\circ }$ vers l'avant, sans aucune approximation des petits angles. Au premier instant, la vitesse est nulle et la tension n'équilibre que la composante de $m{\overrightarrow{g}}_{\text{app}}$ le long du fil : $T=m{g}_{\text{app}}\cos \alpha =mg$. Elle ne saute pas quand le freinage commence ; c'est l'accélération de l'objet qui change brusquement.

4) La bouteille. Dans ${\mathcal{R}}^{\prime }$, la bouteille lâchée sans vitesse relative ne subit que $m{\overrightarrow{g}}_{\text{app}}$ (on néglige l'air) : mouvement uniformément accéléré, en ligne droite, le long de ${\overrightarrow{g}}_{\text{app}}$. Elle descend de $h$ en $t=\sqrt{2h/g}=0,452\mathrm{s}$ (la composante verticale de ${\overrightarrow{g}}_{\text{app}}$ est $g$) et avance pendant ce temps de $$\frac{1}{2}a{t}^2=h\frac{a}{g}=1\times \frac{8}{9,81}=0,82\mathrm{m}.$$ Elle touche le plancher $82\mathrm{cm}$ en avant du pied de la tablette, sur la droite inclinée de $\alpha$ sur la verticale. Vue de la route, aucune force horizontale ne s'exerce sur elle : elle garde la vitesse horizontale de la voiture au moment du lâcher et décrit une parabole, pendant que la voiture ralentit sous elle (qui ne doit pas s'arrêter avant : il faut une vitesse d'au moins $at=3,6\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$). Droite dans un référentiel, parabole dans l'autre.

5) Le virage : une rotation uniforme. Dans le virage, la direction de la voiture tourne avec la tangente au cercle : ce n'est plus une translation. Chaque point de la voiture décrit un cercle centré sur l'axe vertical passant par $C$, autour duquel la voiture tourne à la vitesse angulaire constante $$\Omega =\frac{v}{R}=\frac{25}{150}=0,167\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}.$$ ${\mathcal{R}}^{\prime }$ est donc en rotation uniforme autour d'un axe fixe : ${\overrightarrow{f}}_{ie}=m{\Omega }^2\overrightarrow{HM}$, axifuge, et ${\overrightarrow{f}}_{ic}=-2m\overrightarrow{\Omega }\wedge {\overrightarrow{v}}_{\text{rel}}$. Le pendule au repos dans la voiture n'a pas de vitesse relative : pas de force de Coriolis. Il est à la distance $R$ de l'axe (à quelques décimètres près), et la force centrifuge vaut $m{\Omega }^{2}R=m{v}^2/R$, horizontale, dirigée vers l'extérieur du virage : $$\frac{v^2}{R}=\frac{25^2}{150}=4,17\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2},\tan \beta =\frac{v^2}{gR}=0,425,\beta =23,0^{\circ }.$$ Le pendule s'incline de $23^{\circ }$ vers l'extérieur du virage. Vu de la route, c'est la composante horizontale de la tension qui fournit à l'objet l'accélération centripète $v^2/R$ du mouvement circulaire.

6) Reconnaître le cas. La force centrifuge est proportionnelle à la distance à l'axe : d'un bord à l'autre de l'habitacle, celle-ci passe de $149,25$ à $150,75\mathrm{m}$, la force varie de $\pm 0,5\%$. Elle est presque uniforme, et l'on pourrait la confondre avec la force d'inertie d'une translation. Mais la mouche qui vole à $v^{\prime }=1\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ subit en plus la force de Coriolis, horizontale et perpendiculaire à sa vitesse relative, de norme $$2m\Omega v^{\prime }=m\times 2\times 0,167\times 1=m\times 0,33\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2},$$ soit $3,4\%$ de son poids, et $8\%$ de la force centrifuge. Aucun référentiel en translation ne donnerait une force qui dépend de la vitesse : le virage n'est pas un freinage de côté.

Ce que l'exercice installe. On identifie le mouvement du référentiel avant d'écrire quoi que ce soit : une voiture qui freine en ligne droite est en translation (une force d'inertie uniforme, opposée à l'accélération, qui se fond dans le poids en ${\overrightarrow{g}}_{\text{app}}=\overrightarrow{g}-{\overrightarrow{a}}_{O^{\prime }}$) ; en virage, elle est en rotation uniforme autour de l'axe du virage (force centrifuge, et force de Coriolis pour tout ce qui bouge). La pesanteur apparente transporte tous les résultats du pendule, jusqu'aux grands angles.