Accéléré ou ralenti ? Le mouvement elliptique

Exercice de TD · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 1 — Cinématique du point · C. Vitesse et accélération

Énoncé

On dit qu'un mouvement est accéléré à un instant si la norme de la vitesse croît à cet instant, ralenti si elle décroît.

1) Montrer que, pour tout mouvement, $\frac{d}{d t} (\frac{1}{2} v^{2}) = a \cdot v$ , où $v = ∥ v ∥$ . En déduire un critère portant sur le signe de $a \cdot v$ . Que peut-on dire de $a$ si la norme de la vitesse est constante ?

2) Un point $M$ décrit, dans un plan muni d'un repère $(O, u_{x}, u_{y})$ , le mouvement $x (t) = A cos (ω t)$ , $y (t) = B sin (ω t)$ , avec $A > B > 0$ et $ω > 0$ constants. Identifier la trajectoire. Calculer $v$ et $a$ , et montrer que $a = - ω^{2} O M$ .

3) Calculer $a \cdot v$ . Sur quelles portions de la trajectoire le mouvement est-il accéléré ? ralenti ? Où la vitesse est-elle maximale, minimale ? Interpréter à l'aide de la distance $O M$ .

4) Montrer que la quantité $v^{2} + ω^{2} O M^{2}$ est constante, d'abord par le calcul direct sur ce mouvement, puis pour tout mouvement vérifiant $a = - ω^{2} O M$ , sans résoudre. Vérifier son homogénéité.

Corrigé

1) Le critère. On écrit $v^{2} = v \cdot v$ et l'on dérive le produit scalaire comme un produit : $\frac{d}{d t} (v \cdot v) = \frac{d v}{d t} \cdot v + v \cdot \frac{d v}{d t} = 2 a \cdot v, donc \frac{d}{d t} (\frac{1}{2} v^{2}) = a \cdot v .$ Comme $\frac{1}{2} v^{2}$ et $v \geq 0$ varient dans le même sens, le mouvement est accéléré quand $a \cdot v > 0$ et ralenti quand $a \cdot v < 0$ : c'est l'angle entre $a$ et $v$ qui décide. Si $v$ est constante, $a \cdot v = 0$ : l'accélération est perpendiculaire à la vitesse (ou nulle).

Le point délicat. « Accéléré » ne veut pas dire « $a \neq = 0$ » : le mouvement circulaire uniforme a une accélération non nulle, perpendiculaire à $v$ , et il n'est ni accéléré ni ralenti.

2) L'ellipse. On a $\frac{x ^{2}}{A ^{2}} + \frac{y ^{2}}{B ^{2}} = cos^{2} ω t + sin^{2} ω t = 1$ : la trajectoire est l'ellipse de centre $O$ , de demi-grand axe $A$ selon $O x$ et de demi-petit axe $B$ selon $O y$ , parcourue dans le sens trigonométrique, en un temps $2 π / ω$ . En dérivant dans la base fixe : $v = - A ω sin (ω t) u_{x} + B ω cos (ω t) u_{y},$ $a = - A ω^{2} cos (ω t) u_{x} - B ω^{2} sin (ω t) u_{y} = - ω^{2} O M .$ L'accélération pointe toujours vers le centre $O$ , et sa norme est proportionnelle à la distance $O M$ .

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