La cycloïde

Exercice de TD · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 1 — Cinématique du point · B. Repérage d'un point dans l'espace

Énoncé

Un disque de rayon $R$ , contenu dans le plan vertical $(x O y)$ , avance le long de l'axe $O x$ (le sol) : son centre $C$ a la vitesse constante $V u_{x}$ , à la hauteur $R$ , et le disque tourne sur lui-même dans le sens horaire, à la vitesse angulaire constante $ω$ . On suit un point $M$ de la jante, qui touche le sol en $O$ à l'instant $t = 0$ .

1) En décomposant $O M = O C + C M$ , établir les équations horaires $x (t)$ et $y (t)$ de $M$ .

2) Calculer le vecteur vitesse de $M$ . À quelle condition sur $V$ , $R$ et $ω$ le point de la jante en contact avec le sol a-t-il une vitesse nulle ? (C'est la définition cinématique du roulement sans glissement ; on suppose cette condition remplie dans toute la suite.)

3) Montrer que $∥ v ∥ = 2 V sin \frac{ω t}{2}$ . Où la vitesse est-elle maximale ?

4) Calculer le vecteur accélération. Montrer que sa norme est constante et qu'il est dirigé de $M$ vers $C$ . Que vaut-il au point de contact, où la vitesse est nulle ?

5) Calculer la longueur d'une arche de cycloïde (entre deux contacts consécutifs avec le sol), et la comparer à la distance parcourue par le centre pendant le même temps.

6) Ordre de grandeur : la valve d'une roue de vélo de rayon $R = 0, 33 m$ , à $V = 8, 0 m s^{- 1}$ (environ $29 km h^{- 1}$ ). Calculer la vitesse maximale de la valve et la norme de son accélération ; comparer à $g = 9, 81 m s^{- 2}$ .

Corrigé

La stratégie. Le mouvement de $M$ est compliqué ; ceux de $C$ et de $M$ autour de $C$ sont simples. On somme deux vecteurs simples en cartésiennes, base fixe : il suffira de dériver les coordonnées.

1) Les équations horaires. Le centre est en $O C = V t u_{x} + R u_{y}$ . À $t = 0$ , $M$ est au point bas du disque : $C M (0) = - R u_{y}$ . Le disque tourne dans le sens horaire de l'angle $ω t$ ; le point bas, en tournant dans ce sens, part vers l'arrière (vers les $x$ négatifs) en remontant. Le vecteur $C M$ , de norme $R$ , fait avec $- u_{y}$ l'angle $ω t$ compté vers $- u_{x}$ : $C M = - R sin (ω t) u_{x} - R cos (ω t) u_{y} .$ Donc $x (t) = V t - R sin (ω t), y (t) = R - R cos (ω t) .$

2) Le point de contact. En dérivant coordonnée par coordonnée : $x ˙ = V - R ω cos (ω t), y ˙ = R ω sin (ω t) .$ Le point $M$ est au contact du sol quand $y = 0$ , soit $cos (ω t) = 1$ et $sin (ω t) = 0$ . Sa vitesse y vaut $(V - R ω) u_{x}$ : elle est nulle si et seulement si $V = R ω$ . C'est la traduction cinématique du roulement sans glissement : le point de la roue qui touche le sol ne frotte pas contre lui. Si $V > R ω$ , la roue glisse en avançant (roues bloquées : $ω = 0$ ) ; si $V < R ω$ , elle patine.

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