La grande roue de la fête foraine

Exercice · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 1 — Cinématique du point

Énoncé

La grande roue d'une fête foraine a un rayon $R = 18 m$ . Elle effectue un tour complet en $40 s$ à vitesse constante. On suit une cabine $M$ assimilée à un point qui parcourt le cercle de manière uniforme.

Déterminer la vitesse angulaire $ω$ de la roue.

En déduire la vitesse $v$ d'une cabine et l'écrire dans la base polaire $(e_{r}, e_{θ})$ .

Calculer l'accélération centripète subie par la cabine et l'écrire dans la base polaire. Comparer sa norme à $g = 9, 81 m / s^{2}$ .

La nuit, on remplace le moteur et la nouvelle période devient $30 s$ . De quel facteur l'accélération centripète est-elle multipliée ?

Corrigé

1. Le mouvement est circulaire uniforme de période $T = 40 s$ :

$ω = \frac{2 π}{T} = \frac{2 π}{40} \approx 0, 16 rad / s .$

2. La vitesse d'un point du cercle est $v = R ω$ :

$v = 18 \times 0, 16 \approx 2, 8 m / s .$

Elle est tangente au cercle, dans le sens du mouvement : $v = R ω e_{θ}$ .

3. En mouvement circulaire uniforme, l'accélération est purement centripète :

$a = \frac{v ^{2}}{R} = R ω^{2} = \frac{2 , 8 ^{2}}{18} \approx 0, 44 m / s^{2}, a = - R ω^{2} e_{r} .$

Elle pointe vers le centre $O$ et vaut environ $0, 44/9, 81 \approx 4, 5 %$ de $g$ : sensation très douce, conforme à une grande roue.

4. Comme $a = R (2 π / T)^{2} \propto 1/ T^{2}$ , passer de $T = 40 s$ à $T^{'} = 30 s$ multiplie $a$ par

$(\frac{T}{T ^{'}})^{2} = (\frac{40}{30})^{2} \approx 1, 8 .$

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