La valve sur la roue de vélo

Exercice · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 1 — Cinématique du point

Énoncé

Un cycliste, vélo dressé sur sa béquille, fait tourner la roue arrière « dans le vide ». La roue, de rayon $R = 0, 33 m$ , tourne uniformément autour de son axe fixe et effectue 120 tours par minute. On étudie le mouvement de la valve $M$ , à la périphérie du pneu, dans le référentiel du cycliste.

Convertir la fréquence de rotation et calculer la vitesse angulaire $ω$ .

Déterminer la vitesse $v$ de la valve dans la base polaire $(e_{r}, e_{θ})$ , ainsi que sa norme.

Déterminer l'accélération $a$ et sa norme. Préciser sa direction.

Au point le plus haut de la roue, donner la direction de $v$ et de $a$ .

Corrigé

1. La fréquence est $n = 120$ tr/min $= 120/60 = 2, 0 Hz$ . La vitesse angulaire vaut

$ω = 2 π n = 2 π \times 2, 0 \approx 13 rad / s .$

2. La valve décrit un cercle de rayon $R$ ; sa vitesse est tangente, dans le sens de rotation :

$v = R ω e_{θ}, v = R ω = 0, 33 \times 13 \approx 4, 2 m / s .$

3. La rotation étant uniforme, l'accélération est purement centripète, vers l'axe $O$ :

$a = - R ω^{2} e_{r}, a = \frac{v ^{2}}{R} = \frac{4 , 2 ^{2}}{0 , 33} \approx 53 m / s^{2} .$

Soit environ $5, 4$ fois $g$ : un point du pneu subit une forte accélération centripète.

4. Au sommet, $e_{r}$ pointe vers le haut, donc $a = - R ω^{2} e_{r}$ pointe vers le bas (vers l'axe). La vitesse $v = R ω e_{θ}$ est horizontale.

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