Le chasseur et le singe

Exercice de TD · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 1 — Cinématique du point · D. Mouvements particuliers

Énoncé

Un singe est suspendu à une branche au point $S_{0}$ , à la distance horizontale $D = 20 m$ et à la hauteur $H = 10 m$ au-dessus de la bouche d'une sarbacane placée en $O$ . Le chasseur vise directement le singe et souffle une fléchette de vitesse initiale $v_{0}$ . À l'instant du tir, le singe, effrayé, lâche la branche sans vitesse initiale. Fléchette et singe sont des points matériels d'accélération $g$ constante ; on néglige l'air ; $g = 9, 81 m s^{- 2}$ .

1) Écrire les vecteurs position $O F (t)$ de la fléchette et $O S (t)$ du singe.

2) Calculer $S F (t) = O F - O S$ . Quel est le mouvement de la fléchette vu du singe en chute ? Conclure : la fléchette atteint-elle le singe ?

3) À quelle condition sur $v_{0}$ la rencontre a-t-elle lieu avant que le singe ne touche le sol (pris au niveau de $O$ ) ? Application numérique.

4) Pour $v_{0} = 20 m s^{- 1}$ : instant et altitude de l'impact. Le fait que la fléchette atteigne le singe dépend-il de $g$ ? L'altitude de l'impact en dépend-elle ? Que deviendrait-elle sur la Lune ( $g_{L} = 1, 62 m s^{- 2}$ ) ?

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le mouvement à vecteur accélération constant : si $a = g$ , alors $O M (t) = \frac{1}{2} g t^{2} + v_{0} t + O M_{0}$ , obtenu en intégrant deux fois. La stratégie est de ne pas calculer les deux paraboles séparément pour chercher leur intersection, mais de regarder la différence des positions.

1) Les deux mouvements. Notons $u = O S_{0} / O S_{0}$ le vecteur unitaire de la ligne de visée, avec $O S_{0} = D^{2} + H^{2}$ . La fléchette part de $O$ avec $v_{0} = v_{0} u$ ; le singe part de $S_{0}$ sans vitesse : $O F (t) = \frac{1}{2} g t^{2} + v_{0} t u, O S (t) = \frac{1}{2} g t^{2} + O S_{0} .$

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