Le rayon de courbure

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mécanique (MPSI), chapitre 1 — Cinématique du point · E. Repère de Frenet

Énoncé

Un point $M$ décrit une trajectoire plane, paramétrée par $x (t)$ et $y (t)$ dans une base cartésienne fixe. On rappelle que, dans le repère de Frenet, $a = \frac{d v}{d t} u_{T} + \frac{v ^{2}}{R _{c}} u_{N}$ , où $R_{c} > 0$ est le rayon de courbure.

1) Exprimer $a_{T} = \frac{d v}{d t}$ à l'aide de $a \cdot v$ , puis $a_{N}^{2}$ à l'aide de $∥ a ∥^{2}$ et de $a_{T}$ . En déduire $R_{c} = \frac{v ^{3}}{∣ x ˙ y ¨ - y ˙ x ¨ ∣} .$ Vérifier l'homogénéité de cette formule.

2) La parabole. $x (t) = t$ , $y (t) = t^{2}$ (en unités arbitraires). Calculer $R_{c}$ , $a_{T}$ et $a_{N}$ en fonction de $t$ . Que vaut $R_{c}$ au sommet ? Comment se comporte-t-il loin du sommet ?

3) Le projectile. Un projectile est lancé avec la vitesse $v_{0}$ faisant l'angle $α$ avec l'horizontale, dans le champ de pesanteur uniforme. Calculer le rayon de courbure de la trajectoire au point de lancement et au sommet. Application : ballon de basket lancé à $v_{0} = 7, 0 m s^{- 1}$ , $α = 5 0^{\circ}$ , $g = 9, 81 m s^{- 2}$ .

4) La cycloïde (exercice 2, avec $V = R ω$ ). Calculer le rayon de courbure de la trajectoire de $M$ au sommet de la roue. Pourquoi n'est-il pas égal au rayon $R$ de la roue ? Montrer qu'en général $R_{c} = 4 R sin \frac{ω t}{2}$ , et commenter son comportement au point de contact.

Corrigé

La stratégie. La définition de Frenet relie le rayon de courbure à la composante normale de l'accélération, $a_{N} = v^{2} / R_{c}$ . Il suffit donc de calculer $a_{N}$ à partir des coordonnées cartésiennes, en séparant dans $a$ ce qui est le long de $v$ et ce qui lui est perpendiculaire.

1) La formule. Avec $v = v u_{T}$ et $u_{T} ⊥ u_{N}$ , le produit scalaire de l'expression de Frenet avec $v$ donne $a \cdot v = v \frac{d v}{d t}$ , donc $a_{T} = \frac{a \cdot v}{v} = \frac{x ˙ x ¨ + y ˙ y ¨}{v} .$ Par le théorème de Pythagore dans la base orthonormée de Frenet, $a_{N}^{2} = ∥ a ∥^{2} - a_{T}^{2}$ , d'où $a_{N}^{2} = \frac{( x ¨ ^{2} + y ¨ ^{2} ) ( x ˙ ^{2} + y ˙ ^{2} ) - ( x ˙ x ¨ + y ˙ y ¨ ) ^{2}}{v ^{2}} .$ Développons le numérateur : les termes $x ˙^{2} x ¨^{2}$ et $y ˙^{2} y ¨^{2}$ se simplifient, et il reste $x ˙^{2} y ¨^{2} + y ˙^{2} x ¨^{2} - 2 x ˙ x ¨ y ˙ y ¨ = (x ˙ y ¨ - y ˙ x ¨)^{2} .$ Donc $a_{N} = \frac{∣ x ˙ y ¨ - y ˙ x ¨ ∣}{v}$ (on rappelle que $a_{N} \geq 0$ ), et $a_{N} = v^{2} / R_{c}$ donne $R_{c} = \frac{v ^{3}}{∣ x ˙ y ¨ - y ˙ x ¨ ∣} .$ Homogénéité : $v^{3}$ est en $m^{3} s^{- 3}$ ; $x ˙ y ¨$ est en $m s^{- 1} \times m s^{- 2} = m^{2} s^{- 3}$ ; le quotient est en mètres. Point délicat : le rayon de courbure est une propriété géométrique de la courbe ; reparcourir la même courbe deux fois plus vite multiplie numérateur et dénominateur par $8$ , et $R_{c}$ ne change pas.

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