Le tir au basket

Exercice · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 1 — Cinématique du point

Énoncé

Lors d'un match, une joueuse lâche le ballon à la hauteur du panier, à $4, 0 m$ de l'anneau, avec une vitesse initiale de norme $7, 0 m / s$ inclinée d'un angle $α = 5 0^{\circ}$ au-dessus de l'horizontale. Après le lâcher, le ballon n'est soumis qu'à l'attraction de la pesanteur : son accélération est constante, $a = - g e_{y}$ avec $g = 9, 81 m / s^{2}$ . On néglige l'air et on place l'origine au point de lâcher.

Pourquoi le mouvement est-il dit « à accélération constante » ? Quelle est la forme générale de la trajectoire ?

Établir les équations horaires $x (t)$ et $y (t)$ , puis l'équation de la trajectoire $y (x)$ .

Donner les expressions littérales de la flèche $h$ (hauteur maximale) et de la portée $D$ .

Calculer numériquement $h$ et $D$ . Le ballon passe-t-il au-dessus de l'anneau situé à $4, 0 m$ ?

Sans tout recalculer, pour quel angle la portée serait-elle maximale à $v_{0}$ fixée ?

Corrigé

1. Une fois lâché, le ballon a une accélération $a = - g e_{y}$ : sa direction, son sens et sa norme ne changent pas au cours du temps, d'où l'expression « accélération constante ». Une composante horizontale uniforme combinée à une composante verticale uniformément variée donne une trajectoire parabolique.

2. On intègre l'accélération avec $v_{0} = v_{0} cos α e_{x} + v_{0} sin α e_{y}$ et une position initiale nulle :

$x (t) = (v_{0} cos α) t, y (t) = (v_{0} sin α) t - \frac{1}{2} g t^{2} .$

En éliminant $t = x / (v_{0} cos α)$ :

$y (x) = x tan α - \frac{g x ^{2}}{2 v _{0}^{2} cos ^{2} α} .$

3. Au sommet, la vitesse verticale s'annule : $y ˙ = v_{0} sin α - g t_{s} = 0$ donne $t_{s} = \frac{v _{0} sin α}{g}$ , d'où la flèche

$h = \frac{v _{0}^{2} sin ^{2} α}{2 g} .$

Le retour à $y = 0$ (autre que $t = 0$ ) a lieu à $t_{D} = \frac{2 v _{0} sin α}{g}$ , soit une portée

$D = \frac{v _{0}^{2} sin ( 2 α )}{g} .$

4. Numériquement, avec $v_{0} = 7, 0$ , $α = 5 0^{\circ}$ ( $sin 5 0^{\circ} \approx 0, 766$ , $sin 10 0^{\circ} \approx 0, 985$ ) et $g = 9, 81$ :

$h = \frac{7 , 0 ^{2} \times 0 , 76 6 ^{2}}{2 \times 9 , 81} \approx 1, 5 m, D = \frac{7 , 0 ^{2} \times 0 , 985}{9 , 81} \approx 4, 9 m .$

La portée $D \approx 4, 9 m$ dépasse la distance $4, 0 m$ à l'anneau, et à $x = 4, 0 m$ on a $y (4, 0) \approx 1, 0 m > 0$ : le ballon est encore au-dessus du panier. Le tir est cohérent avec une mise au panier.

5. La portée $D = v_{0}^{2} sin (2 α) / g$ est maximale quand $sin (2 α) = 1$ , c'est-à-dire $2 α = 9 0^{\circ}$ , soit $α = 4 5^{\circ}$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.