Le toboggan hélicoïdal du parc aquatique

Exercice · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 1 — Cinématique du point

Énoncé

Dans un parc aquatique, un toboggan s'enroule autour d'un cylindre vertical de rayon $2, 0 m$ . Un baigneur glisse à vitesse angulaire constante $ω = 1, 5 rad / s$ autour de l'axe, tout en descendant de $0, 80 m$ chaque seconde. On repère sa position en coordonnées cylindriques : $r = R = 2, 0 m$ , $θ = ω t$ et $z = - h t$ , avec $h = 0, 80 m / s$ .

Écrire le vecteur position $O M$ , puis établir le vecteur vitesse $v$ .

Calculer $v$ et montrer qu'elle est constante. Le mouvement est-il uniforme ?

Déterminer l'angle $α$ que fait la vitesse avec le plan horizontal.

Combien de temps faut-il pour un tour complet ? De combien le baigneur a-t-il descendu ?

Corrigé

1. En cylindriques, $O M = R e_{r} - h t e_{z}$ . Comme $r = R$ est constant et $θ = ω t$ , on a $e_{r} ˙ = ω e_{θ}$ , d'où

$v = R ω e_{θ} - h e_{z} .$

Pas de composante radiale : le baigneur reste à distance $R$ de l'axe.

2. Les composantes étant orthogonales,

$v = R^{2} ω^{2} + h^{2} .$

Avec $R ω = 2, 0 \times 1, 5 = 3, 0 m / s$ : $v = 3, 0^{2} + 0, 8 0^{2} \approx 3, 1 m / s$ . $R$ , $ω$ , $h$ étant constants, $v$ l'est aussi : le mouvement est uniforme (et hélicoïdal).

3. L'angle de descente sous l'horizontale vérifie

$tan α = \frac{h}{R ω} = \frac{0 , 80}{3 , 0} = 0, 27 \Rightarrow α \approx 1 5^{\circ} .$

4. Un tour complet : $T = \frac{2 π}{ω} = \frac{2 π}{1 , 5} \approx 4, 2 s$ . La descente correspondante vaut

$Δ z = h T = 0, 80 \times 4, 2 \approx 3, 4 m .$

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