Les quatre chiens

Quatre chiens $A$, $B$, $C$, $D$ occupent à $t=0$ les sommets d'un carré de côté $a=10\mathrm{m}$, de centre $O$, dans le sens trigonométrique. Chacun court à la vitesse de norme constante $v=1,0\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, en visant à chaque instant le chien suivant ($A$ vise $B$, $B$ vise $C$, $C$ vise $D$, $D$ vise $A$). Les chiens sont assimilés à des points.

1) Montrer par un argument de symétrie qu'à chaque instant les chiens forment un carré de centre $O$. Combien de degrés de liberté faut-il alors pour décrire tout le système ?

2) On repère $A$ en coordonnées polaires $(r,\theta )$ de centre $O$. Quel angle le vecteur vitesse de $A$ fait-il avec ${\vec{u}}_r$ ? En déduire $\dot{r}$ et $r\dot{\theta }$.

3) Quand et où les chiens se rejoignent-ils ? Quelle distance chacun a-t-il parcourue ?

4) Établir l'équation polaire $r(\theta )$ de la trajectoire de $A$. Combien de tours autour de $O$ chaque chien fait-il ? Commenter le comportement de $\dot{\theta }$ quand $r\to 0$, et la limite du modèle du point matériel.

5) Retrouver la durée de la question 3 sans coordonnées, par la vitesse de rapprochement de deux chiens consécutifs. Généraliser à $N$ chiens aux sommets d'un polygone régulier de côté $a$ : montrer que $t_N=\frac{a}{v(1-\cos (2\pi /N))}$. Applications numériques pour $N=3$, $4$, $6$, et commentaire quand $N\to \infty$.