Loxodromie : naviguer à cap constant

On assimile la Terre à une sphère de centre $O$ et de rayon $R=6371\mathrm{km}$. Un point $M$ de sa surface est repéré par ses coordonnées sphériques $(r=R,\theta ,\phi )$, $\theta$ étant la colatitude et $\phi$ la longitude ; on note $\lambda =\pi /2-\theta$ la latitude. Un navire suit une loxodromie : sa route coupe tous les méridiens sous le même angle $\alpha$ (le cap), avec $0<\alpha <\pi /2$, vers le nord-est.

1) Combien de degrés de liberté possède un point astreint à la surface de la Terre ? Écrire le déplacement élémentaire $\mathrm{d}\overrightarrow{OM}$ sur la sphère dans la base $({\vec{u}}_r,{\vec{u}}_{\theta },{\vec{u}}_{\phi })$, puis l'exprimer à l'aide de $\mathrm{d}\lambda$ et $\mathrm{d}\phi$. Dans quelles directions géographiques pointent ${\vec{u}}_{\theta }$ et ${\vec{u}}_{\phi }$ ?

2) Le long de la route, on note $\mathrm{d}\ell$ la longueur parcourue. Exprimer les composantes de $\mathrm{d}\overrightarrow{OM}$ vers le nord et vers l'est en fonction de $\mathrm{d}\ell$ et $\alpha$, et en déduire $\mathrm{d}\phi =\tan \alpha \frac{\mathrm{d}\lambda }{\cos \lambda }$.

3) Le navire part de l'équateur ($\lambda =0$, $\phi =0$). On admet ${\int }_0^{\lambda }\frac{\mathrm{d}{\lambda }^{\prime }}{\cos {\lambda }^{\prime }}=\ln \tan (\frac{\pi }{4}+\frac{\lambda }{2})$. Exprimer $\phi (\lambda )$. Pour $\alpha =45^{\circ }$, quelle est la longitude du navire quand il atteint la latitude $60^{\circ }$ N ?

4) Montrer que le navire tourne une infinité de fois autour du pôle Nord, mais que la longueur totale de la route de l'équateur au pôle est finie : $L=\frac{\pi R}{2\cos \alpha }$. Application numérique pour $\alpha =45^{\circ }$.

5) Cas limites $\alpha =0$ et $\alpha \to \pi /2$. Vérifier l'homogénéité de $L$.