Mesurer $g$ avec une vidéo de saut

Exercice · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 1 — Cinématique du point

Énoncé

Vous filmez un ami qui saute verticalement, caméra à $20 Hz$ (une image toutes les $Δ t = 0, 05 s$ ). En pointant le sommet de son crâne sur chaque image, vous relevez son altitude $y_{i}$ (en mètres) aux instants $t_{i} = i Δ t$ :

$i y_{i} (m) 0 1, 80 1 1, 99 2 2, 15 3 2, 29 4 2, 40 5 2, 49$

Pourquoi une différence centrée estime-t-elle mieux la vitesse instantanée $v (t_{i})$ qu'une différence « à droite » ?

Estimer les vitesses $v (t_{i})$ pour $i = 1, 2, 3, 4$ par $v (t_{i}) \approx \frac{y _{i + 1} - y _{i - 1}}{2Δ t}$ .

En dérivant une seconde fois (différence centrée sur les vitesses), estimer l'accélération. Que vaut-elle ? Conclure sur la nature du mouvement.

Écrire en numpy le calcul qui reproduit ces estimations.

Corrigé

1. La différence à droite $\frac{y _{i + 1} - y _{i}}{Δ t}$ approche la pente entre $t_{i}$ et $t_{i + 1}$ , soit plutôt la vitesse à l'instant intermédiaire $t_{i} + Δ t /2$ . La différence centrée $\frac{y _{i + 1} - y _{i - 1}}{2Δ t}$ , symétrique autour de $t_{i}$ , a une erreur en $Δ t^{2}$ (au lieu de $Δ t$ ) : elle estime bien $v (t_{i})$ .

2. Avec $2Δ t = 0, 10 s$ :

$v_{1} = \frac{2 , 15 - 1 , 80}{0 , 10} = 3, 5 m / s, v_{2} = \frac{2 , 29 - 1 , 99}{0 , 10} = 3, 0 m / s,$

$v_{3} = \frac{2 , 40 - 2 , 15}{0 , 10} = 2, 5 m / s, v_{4} = \frac{2 , 49 - 2 , 29}{0 , 10} = 2, 0 m / s .$

La vitesse vers le haut décroît régulièrement : le sauteur ralentit en montant.

3. Même différence centrée appliquée aux vitesses (espacées de $Δ t$ ) :

$a (t_{2}) \approx \frac{v _{3} - v _{1}}{2Δ t} = \frac{2 , 5 - 3 , 5}{0 , 10} = - 10 m / s^{2}, a (t_{3}) \approx \frac{v _{4} - v _{2}}{2Δ t} = \frac{2 , 0 - 3 , 0}{0 , 10} = - 10 m / s^{2} .$

L'accélération est constante, dirigée vers le bas, de norme $\approx g$ (à la précision du pointage près) : $a \approx - g e_{y}$ . C'est un mouvement de chute libre.

4. En numpy, np.gradient applique exactement la différence centrée à l'intérieur :

import numpy as np
dt = 0.05
y = np.array([1.80, 1.99, 2.15, 2.29, 2.40, 2.49])
v = np.gradient(y, dt)   # vitesses (m/s)
a = np.gradient(v, dt)   # accelerations (m/s^2)
print(v)                 # ~ [3.8 3.5 3.0 2.5 2.0 1.8]
print(a.mean())          # ~ -9.8

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.

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