Mesurer $g$ sur une vidéo, et le bruit de pointage

Exercice de TD · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 1 — Cinématique du point · E. Repère de Frenet

Énoncé

On filme un sauteur qui s'élève verticalement, avec une caméra à $20$ images par seconde ( $Δ t = 0, 05 s$ ). En pointant le sommet de son crâne sur chaque image à partir de l'instant où ses pieds quittent le sol, on relève son altitude $y_{i}$ au centimètre près, aux instants $t_{i} = i Δ t$ :

$i$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$y_{i}$ (m)	$1, 80$	$1, 99$	$2, 15$	$2, 29$	$2, 40$	$2, 49$

1) À l'aide de développements de Taylor de $y (t_{i} \pm Δ t)$ , montrer que la différence centrée $\frac{y _{i + 1} - y _{i - 1}}{2Δ t}$ approche $y ˙ (t_{i})$ avec une erreur d'ordre $Δ t^{2}$ , alors que la différence « à droite » $\frac{y _{i + 1} - y _{i}}{Δ t}$ a une erreur d'ordre $Δ t$ . Montrer de même que $\frac{y _{i + 1} - 2 y _{i} + y _{i - 1}}{Δ t ^{2}}$ approche $y ¨ (t_{i})$ . Pour un mouvement à accélération constante, que valent ces erreurs ?

2) Estimer les vitesses $v_{1}$ à $v_{4}$ par différences centrées, puis les accélérations $a_{1}$ à $a_{4}$ par différences secondes. Commenter la dispersion des accélérations obtenues.

3) Les positions sont connues à $\pm δ$ près, avec $δ = 5 mm$ (arrondi au centimètre). Montrer que l'erreur sur une vitesse estimée peut atteindre $δ /Δ t$ et l'erreur sur une accélération $4 δ /Δ t^{2}$ . Évaluer numériquement. Que se passe-t-il si l'on filme deux fois plus vite, en pointant toujours au centimètre ?

4) On ajuste plutôt l'ensemble des points par une parabole $y = c_{0} t^{2} + c_{1} t + c_{2}$ (fonction numpy.polyfit). Pourquoi cette méthode est-elle moins sensible au bruit ? Écrire le script et commenter le résultat.

Corrigé

1) L'ordre des différences finies. On écrit les développements de Taylor de $y$ autour de $t_{i}$ : $y (t_{i} \pm Δ t) = y_{i} \pm y ˙_{i} Δ t + \frac{1}{2} y ¨_{i} Δ t^{2} \pm \frac{1}{6} y ..._{i} Δ t^{3} + \frac{1}{24} y_{i}^{(4)} Δ t^{4} + \dots$ En soustrayant les deux lignes, les termes pairs disparaissent : $\frac{y _{i + 1} - y _{i - 1}}{2Δ t} = y ˙_{i} + \frac{1}{6} y ..._{i} Δ t^{2} + \dots$ L'erreur est d'ordre $Δ t^{2}$ . La différence à droite garde le terme $\frac{1}{2} y ¨_{i} Δ t$ : erreur d'ordre $Δ t$ (elle estime la vitesse en $t_{i} + Δ t /2$ ). En additionnant les deux lignes, ce sont les termes impairs qui disparaissent : $\frac{y _{i + 1} - 2 y _{i} + y _{i - 1}}{Δ t ^{2}} = y ¨_{i} + \frac{1}{12} y_{i}^{(4)} Δ t^{2} + \dots$ Pour un mouvement à accélération constante, $y$ est un polynôme de degré $2$ : $y ... = y^{(4)} = 0$ , et les deux formules centrées sont exactes. Toute dispersion observée sur un tel mouvement vient donc de la mesure, pas de la méthode.

2) Les estimations. Avec $2Δ t = 0, 10 s$ : $v_{1} = \frac{2 , 15 - 1 , 80}{0 , 10} = 3, 5 m s^{- 1}, v_{2} = 3, 0 m s^{- 1}, v_{3} = 2, 5 m s^{- 1}, v_{4} = 2, 0 m s^{- 1} .$ La vitesse décroît régulièrement, d'environ $0, 5 m s^{- 1}$ par image : le sauteur ralentit en montant, ce qu'on attend d'une accélération d'environ $- 10 m s^{- 2}$ . Avec $Δ t^{2} = 2, 5 \times 1 0^{- 3} s^{2}$ , les différences secondes donnent : $a_{1} = \frac{2 , 15 - 2 \times 1 , 99 + 1 , 80}{0 , 0025} = - 12 m s^{- 2},$ puis de même $a_{2} = - 8 m s^{- 2}$ , $a_{3} = - 12 m s^{- 2}$ et $a_{4} = - 8 m s^{- 2}$ . Les valeurs oscillent de $\pm 20 %$ autour de $- 10 m s^{- 2}$ , alors que le mouvement est une chute libre d'accélération constante. D'après la question 1, ce n'est pas la méthode qui est en cause : c'est le bruit de pointage.

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