Mouvement circulaire uniformément accéléré

Un point $M$ décrit un cercle de centre $O$ et de rayon $R$, en partant du repos : son angle polaire vérifie $\theta (t)=\frac{1}{2}\beta t^2$, avec $\beta >0$ constant (l'accélération angulaire).

1) Le mouvement est-il uniforme ? Exprimer $\vec{v}$ et $\vec{a}$ dans la base polaire $({\vec{u}}_r,{\vec{u}}_{\theta })$, puis les composantes tangentielle $a_T$ et normale $a_N$ de l'accélération.

2) On note $\phi$ l'angle entre $\vec{a}$ et $\vec{v}$. Montrer que $\tan \phi =2\theta$. Commenter : de quoi cet angle dépend-il, et de quoi ne dépend-il pas ? Pour quel angle parcouru les composantes normale et tangentielle sont-elles égales ?

3) Exprimer $\Vert \vec{a}\Vert$ en fonction de $R$, $\beta$ et $\theta$.

4) Centrifugeuse de pilote, de bras $R=8,0\mathrm{m}$ : on veut atteindre une accélération normale de $9g$ ($g=9,81\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$), depuis le repos, en $t_1=10\mathrm{s}$ à accélération angulaire constante. Calculer ${\omega }_1$ final, la vitesse du pilote, $\beta$, $a_T$, le nombre de tours de la montée et l'angle final entre $\vec{a}$ et $\vec{v}$. Commenter.