Problème : la parabole de sûreté

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mécanique (MPSI), chapitre 1 — Cinématique du point · D. Mouvements particuliers

Énoncé

Un projectile est lancé depuis l'origine $O$ avec une vitesse de norme $v_{0}$ fixée, faisant un angle $α \in] - π /2, π /2 [$ avec l'horizontale, dans le champ de pesanteur uniforme $g = - g u_{y}$ ; on néglige l'air. On note $u = tan α$ .

1) Établir l'équation de la trajectoire $y (x)$ et l'écrire comme un trinôme du second degré en $u$ .

2) Une cible est placée au point $(X, Y)$ , avec $X > 0$ . Montrer qu'elle peut être atteinte si et seulement si $Y \leq \frac{v _{0}^{2}}{2 g} - \frac{g X ^{2}}{2 v _{0}^{2}} .$ La courbe limite est la parabole de sûreté. Combien d'angles de tir conviennent pour une cible strictement intérieure ? (Tir tendu, tir en cloche.) Application : $v_{0} = 10 m s^{- 1}$ , cible en $(6, 0 m; 1, 0 m)$ , avec $g = 9, 81 m s^{- 2}$ .

3) Montrer que chaque trajectoire touche la parabole de sûreté en un point unique et y est tangente. Que signifie physiquement « être hors de portée » ?

4) Retrouver la portée maximale sur un sol horizontal. Le sol est maintenant un plan incliné montant d'angle $β$ (droite $y = x tan β$ ). Montrer que la portée maximale mesurée le long du plan vaut $D_{m a x} = \frac{v _{0}^{2}}{g ( 1 + sin β )}$ et qu'elle est obtenue pour $α = \frac{π}{4} + \frac{β}{2}$ . Application : $v_{0} = 10 m s^{- 1}$ , $β = 2 0^{\circ}$ .

5) Lancer du poids. La boule quitte la main à $h = 2, 0 m$ du sol avec $v_{0} = 14 m s^{- 1}$ . Déterminer la portée maximale et l'angle optimal. Comparer à la portée obtenue à $4 5^{\circ}$ , et commenter : les lanceurs d'élite lâchent plutôt vers $35$ à $4 0^{\circ}$ ; pourquoi l'écart de portée est-il si faible ?

6) Vérifier l'homogénéité des résultats et les cas limites $h \to 0$ , $β \to 0$ et $β \to π /2$ . Énoncer le résultat obtenu.

Corrigé

1) La trajectoire, trinôme en $u$ . Le cours donne, pour un lancer depuis l'origine, $x (t) = v_{0} cos α t$ et $y (t) = v_{0} sin α t - \frac{1}{2} g t^{2}$ ; en éliminant le temps par $t = x / (v_{0} cos α)$ : $y = x tan α - \frac{g x ^{2}}{2 v _{0}^{2} cos ^{2} α} .$ On remplace $\frac{1}{cos ^{2} α} = 1 + tan^{2} α = 1 + u^{2}$ : $y = x u - \frac{g x ^{2}}{2 v _{0}^{2}} (1 + u^{2}), soit \frac{g x ^{2}}{2 v _{0}^{2}} u^{2} - x u + (y + \frac{g x ^{2}}{2 v _{0}^{2}}) = 0.$ Le point clé est ce changement de point de vue : au lieu de lire cette relation comme l'équation d'une trajectoire (inconnues $x$ , $y$ ; angle donné), on la lit comme une équation en l'angle ( $u$ inconnu ; point $(x, y)$ donné). Elle dit quels angles font passer par un point donné.

2) La condition d'atteinte. La cible $(X, Y)$ est atteinte si et seulement s'il existe un réel $u$ (et donc un angle $α = arctan u$ dans $] - π /2, π /2 [$ ) solution du trinôme avec $x = X$ , $y = Y$ . Notons $k = \frac{g X ^{2}}{2 v _{0}^{2}} > 0$ . Le trinôme $k u^{2} - X u + (Y + k)$ a une racine réelle si et seulement si son discriminant est positif ou nul : $Δ = X^{2} - 4 k (Y + k) \geq 0 ⟺ Y \leq \frac{X ^{2}}{4 k} - k = \frac{v _{0}^{2}}{2 g} - \frac{g X ^{2}}{2 v _{0}^{2}} .$ C'est la condition annoncée. La courbe $Y_{s} (X) = \frac{v _{0}^{2}}{2 g} - \frac{g X ^{2}}{2 v _{0}^{2}}$ est une parabole d'axe vertical, de sommet $(0, v_{0}^{2} / (2 g))$ — la hauteur atteinte par un tir vertical — tournée vers le bas : la parabole de sûreté.

Pour une cible strictement intérieure, $Δ > 0$ : deux angles conviennent, le plus petit pour le tir tendu, le plus grand pour le tir en cloche ; sur la parabole, ils se confondent. Pour $Y = 0$ , le produit des racines vaut $(Y + k) / k = 1$ : $tan α_{1} tan α_{2} = 1$ , les deux angles sont complémentaires ( $3 0^{\circ}$ et $6 0^{\circ}$ donnent la même portée).

Application. Avec $v_{0} = 10 m s^{- 1}$ , $Y_{s} (6, 0) = \frac{100}{19 , 62} - \frac{9 , 81 \times 36}{200} \approx 3, 33 m$ : la cible à $1, 0 m$ de hauteur est atteignable. La résolution du trinôme donne $α_{1} \approx 28, 8^{\circ}$ (tir tendu) et $α_{2} \approx 70, 7^{\circ}$ (tir en cloche).

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