Rayon de courbure par Frenet

Exercice · niveau 3 (difficile) · mécanique (MPSI), chapitre 1 — Cinématique du point

Énoncé

Reprendre le projectile de l'exercice 5. Déterminer le rayon de courbure $R$ de la trajectoire au sommet (point le plus haut).

Corrigé

Au sommet, la vitesse est horizontale : $v = v_{0} cos α$ et le mouvement y est localement horizontal. L'accélération est $a = g = - g e_{y}$ , entièrement normale à la trajectoire en ce point (puisque $v$ est horizontale). Donc la composante normale vaut $a_{N} = g$ . La relation $a_{N} = v^{2} / R$ donne

$R = \frac{v ^{2}}{a _{N}} = \frac{( v _{0} cos α ) ^{2}}{g} .$

On a utilisé que $a_{T} = d v / d t = 0$ au sommet (la vitesse y est extrémale), donc toute l'accélération est normale.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.