Traverser une rivière

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le caractère absolu des durées et des distances. Si $O^{\prime }$ est un bouchon qui flotte (origine du référentiel de l'eau), $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{O{O}^{\prime }}+\overrightarrow{O^{\prime }M}$ ; en dérivant par rapport au temps, le même dans les deux référentiels, et parce que les axes de l'eau ne tournent pas par rapport à ceux du sol, on obtient l'addition des vitesses : $${\vec{v}}_{/\mathrm{sol}}={\vec{v}}_{/\mathrm{eau}}+\vec{w}.$$ La stratégie est de projeter cette relation sur deux axes bien choisis.

1) La vitesse par rapport au sol. Le nageur a la vitesse $u$ par rapport à l'eau : c'est ce que ses bras produisent en poussant sur l'eau qui l'entoure. On prend l'axe $Oy$ perpendiculaire aux berges, orienté vers la berge d'arrivée, et l'axe $Ox$ le long des berges, orienté dans le sens du courant. Le cap fait l'angle $\theta$ avec $Oy$, compté vers l'amont, c'est-à-dire vers les $x$ négatifs : $${\vec{v}}_{/\mathrm{eau}}=-u\sin \theta {\vec{u}}_x+u\cos \theta {\vec{u}}_y,\vec{w}=w{\vec{u}}_x,$$ d'où $${\vec{v}}_{/\mathrm{sol}}=(w-u\sin \theta ){\vec{u}}_x+u\cos \theta {\vec{u}}_y.$$ La composante perpendiculaire aux berges, $u\cos \theta$, ne dépend pas du courant : c'est elle seule qui fait traverser. La composante parallèle, $w-u\sin \theta$, est la vitesse de dérive.

2) Arriver en face. Il faut une dérive nulle, donc une vitesse par rapport au sol perpendiculaire aux berges : $w-u\sin \theta =0$, soit $$\sin \theta =\frac{w}{u}=0,6,\theta \approx 36,9^{\circ }\text{ vers l’amont}.$$ La traversée se fait alors à la vitesse $u\cos \theta =u\sqrt{1-w^2/u^2}=\sqrt{u^2-w^2}=0,8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, et dure $$T_2=\frac{L}{\sqrt{u^2-w^2}}=\frac{60}{0,8}=75\mathrm{s}.$$ Le point délicat. Cette solution n'existe que si $w\le u$ : un sinus ne dépasse pas $1$. On y reviendra à la question 4.