La balle qui tourne au bout de sa corde

1. La balle subit deux forces : son poids $m\overrightarrow{g}$ (vertical, vers le bas) et la tension $\overrightarrow{T}$ du fil, dirigée le long du fil vers $O$. Le mouvement étant circulaire uniforme et horizontal, l'accélération est purement centripète, dirigée vers le centre du cercle (horizontale, vers l'axe). En projetant le PFD sur la verticale (pas d'accélération verticale) : $$T\cos \alpha -mg=0⟹T\cos \alpha =mg.$$ En projetant sur la direction radiale horizontale (accélération centripète $a={\omega }^{2}R$, dirigée vers l'axe) : $$T\sin \alpha =m{\omega }^{2}R.$$

2. Le rayon du cercle vaut $R=\ell \sin \alpha$. En reportant dans la seconde équation : $$T\sin \alpha =m{\omega }^2\ell \sin \alpha ⟹T=m{\omega }^2\ell .$$ En divisant la projection verticale $T\cos \alpha =mg$ par cette dernière : $$\cos \alpha =\frac{mg}{T}=\frac{mg}{m{\omega }^2\ell },\boxed{\cos \alpha =\frac{g}{{\omega }^2\ell }.}$$ Cette relation remarquable ne dépend pas de la masse.

3. Application numérique avec $\omega =4,0\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ et $\ell =0,80\mathrm{m}$ : $$\cos \alpha =\frac{9,81}{(4,0{)}^2\times 0,80}=\frac{9,81}{12,8}=0,77.$$ Donc $\boxed{\alpha \approx 40^{\circ }}$. Le rayon vaut alors $$R=\ell \sin \alpha =0,80\times \sin (40^{\circ })=0,80\times 0,64\approx \boxed{0,51\mathrm{m}.}$$

4. Quand $\omega$ augmente, $\cos \alpha =g/({\omega }^2\ell )$ diminue, donc $\alpha$ croît : le fil se redresse vers l'horizontale sans jamais l'atteindre ($\alpha <90^{\circ }$). À l'inverse, la relation n'a de solution que si $\cos \alpha \le 1$, c'est-à-dire ${\omega }^2\ell \ge g$. Il existe donc une vitesse angulaire minimale $$\boxed{{\omega }_{\min }=\sqrt{\frac{g}{\ell }}=\sqrt{\frac{9,81}{0,80}}\approx 3,5\mathrm{rad}/\mathrm{s}.}$$ En dessous de ${\omega }_{\min }$, le fil reste vertical : il n'y a pas de cône.