La barque et le pêcheur

Un pêcheur de masse $m=80$ kg se tient à l'arrière d'une barque de masse $M=120$ kg, immobile sur un lac calme. Il marche jusqu'à l'avant de la barque, parcourant la longueur $L=4,0$ m par rapport à la barque, puis s'arrête. On assimile le pêcheur et la barque à deux points matériels $P$ et $B$ (la barque étant repérée par son centre de masse), on travaille dans le référentiel terrestre supposé galiléen et l'on néglige toute action horizontale de l'eau sur la barque.

a) On note $G$ le centre de masse du système $\{P,B\}$, défini par $(m+M)\overrightarrow{OG}=m\overrightarrow{OP}+M\overrightarrow{OB}$. Établir que la quantité de mouvement du système vaut $\vec{p}=(m+M){\vec{v}}_G$.

b) En appliquant la deuxième loi de Newton à chacun des deux points, puis la troisième loi, montrer que $\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}$ ne dépend que des forces extérieures au système. En déduire que la composante horizontale de $\vec{p}$ se conserve, puis que $G$ ne bouge pas horizontalement.

c) De quelle distance la barque s'est-elle déplacée par rapport au rivage, et dans quel sens ? Et le pêcheur ? Application numérique.

d) Étudier les cas limites $M\to +\infty$ et $M\to 0$. Le résultat dépend-il de la manière dont le pêcheur marche (vite, lentement, en courant puis en s'arrêtant brusquement) ?