La luge sur la piste

Exercice · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 2 — Dynamique du point : les lois de Newton

Énoncé

Sur une piste enneigée inclinée d'un angle $α = 2 0^{\circ}$ , un enfant lâche sa luge sans vitesse initiale depuis le sommet. La luge glisse sur la neige avec un frottement solide de coefficient $μ = 0, 15$ . La piste mesure $L = 40 m$ de long. On note $m$ la masse de l'ensemble (enfant + luge) et $g$ l'accélération de la pesanteur.

Faire le bilan des forces sur la luge et préciser leur direction. Que vaut la réaction normale $N$ ?

Appliquer le PFD le long de la pente et en déduire l'expression littérale de l'accélération $a$ en fonction de $g$ , $α$ et $μ$ .

Quelle serait l'accélération sans frottement ? Calculer $a$ avec et sans frottement et comparer.

En partant du repos, déterminer la vitesse $v$ en bas de la piste (longueur $L$ ), puis l'application numérique en $km / h$ .

Corrigé

1. Trois forces agissent : le poids $m g$ (vertical, vers le bas), la réaction normale $N$ (perpendiculaire à la pente) et la force de frottement solide $f$ (le long de la pente, opposée au mouvement donc dirigée vers le haut de la pente). En projetant sur l'axe perpendiculaire à la pente, où l'accélération est nulle :

$N = m g cos α .$

2. La luge glissant, le frottement vaut $f = μ N = μ m g cos α$ . On projette le PFD sur l'axe de la pente, orienté vers le bas (sens du mouvement) :

$ma = m g sin α - μ m g cos α ⟹ a = g (sin α - μ cos α) .$

La masse se simplifie : l'accélération n'en dépend pas.

3. Sans frottement, $a_{0} = g sin α$ . Avec $g = 9, 81 m / s^{2}$ et $α = 2 0^{\circ}$ ( $sin 2 0^{\circ} \approx 0, 342$ , $cos 2 0^{\circ} \approx 0, 940$ ) :

$a_{0} = 9, 81 \times 0, 342 \approx 3, 4 m / s^{2},$

$a = 9, 81 (0, 342 - 0, 15 \times 0, 940) = 9, 81 (0, 342 - 0, 141) \approx 2, 0 m / s^{2} .$

Le frottement réduit l'accélération de près de $40 %$ : la luge descend nettement moins vite.

4. Mouvement uniformément accéléré sans vitesse initiale sur la distance $L$ : $v^{2} = 2 a L$ , donc $v = 2 a L$ . Avec $a \approx 2, 0 m / s^{2}$ et $L = 40 m$ :

$v = 2 \times 2, 0 \times 40 = 160 \approx 13 m / s \approx 46 km / h .$

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.