La tyrolienne du parc accrobranche

Exercice · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 2 — Dynamique du point : les lois de Newton

Énoncé

Dans un parc accrobranche, Léa, qui pèse $40 kg$ avec son harnais, s'élance sur une tyrolienne de $30 m$ de long inclinée d'un angle $α = 1 5^{\circ}$ par rapport à l'horizontale. Une poulie la relie au câble. On prend $g = 9, 81 m / s^{2}$ .

Sans calcul, indique quelles forces s'exercent sur Léa pendant la descente. Selon toi, arrivera-t-elle plus vite en bas si l'angle $α$ est plus grand ?

On néglige d'abord les frottements. Établis l'expression littérale de l'accélération $a$ de Léa le long du câble en projetant le principe fondamental de la dynamique.

Calcule cette accélération, puis la vitesse $v$ atteinte en bas du câble (départ sans vitesse initiale).

En réalité, on mesure une vitesse d'arrivée de $7, 0 m / s$ . Que peux-tu en conclure sur les frottements de la poulie ?

Corrigé

1. Léa subit son poids $P$ (vertical, vers le bas) et la réaction $N$ du câble (perpendiculaire au câble via la poulie). Plus l'angle $α$ est grand, plus la pente est raide : on s'attend à une descente plus rapide.

2. On projette le PFD $m a = P + N$ sur un axe $(O x)$ orienté vers le bas le long du câble. La réaction $N$ étant perpendiculaire au câble, elle n'a pas de composante sur $(O x)$ . Le poids s'y projette en $P sin α = m g sin α$ . D'où : $ma = m g sin α ⟹ a = g sin α$ L'accélération ne dépend pas de la masse.

3. Numériquement : $a = 9, 81 \times sin (1 5^{\circ}) = 2, 5 m / s^{2}$ . Le mouvement étant uniformément accéléré sur la longueur $L = 30 m$ , on utilise $v^{2} = 2 a L$ (départ sans vitesse) : $v = 2 a L = 2 \times 2, 5 \times 30 \approx 12 m / s (\approx 44 km / h) .$

4. La vitesse réelle ( $7, 0 m / s$ ) est bien inférieure à la valeur idéale ( $12 m / s$ ) : les frottements de la poulie et la résistance de l'air ne sont pas négligeables. Ils dissipent une partie de l'énergie et limitent la vitesse — heureusement, sinon l'arrivée serait brutale !

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