Le looping du grand huit

Exercice · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 2 — Dynamique du point : les lois de Newton

Énoncé

Au parc d'attractions, le grand huit lance un wagon dans une boucle verticale de rayon $R = 8, 0 m$ . À l'instant le plus impressionnant, les passagers se retrouvent la tête en bas tout en haut de la boucle. Pour ne pas décoller des rails (et garder le wagon plaqué), il faut une vitesse suffisante. On néglige les frottements et on note $m$ la masse du wagon, $g$ l'accélération de la pesanteur.

Qualitativement, au sommet de la boucle, quelles forces s'exercent sur le wagon ? Dans quel sens pointent-elles ?

Appliquer le principe fondamental de la dynamique au sommet, en projetant sur la verticale dirigée vers le centre. En déduire l'expression de la réaction des rails $N$ en fonction de $m$ , $g$ , $v$ et $R$ .

À quelle condition sur $v$ le wagon reste-t-il en contact avec les rails ? En déduire la vitesse minimale $v_{min}$ au sommet.

Calculer $v_{min}$ pour $R = 8, 0 m$ . La convertir en $km / h$ et commenter la sensation des passagers.

Corrigé

1. Au sommet, le wagon n'est soumis qu'à deux forces, toutes deux dirigées vers le bas (c'est-à-dire vers le centre de la boucle) : le poids $m g$ et la réaction des rails $N$ (les rails poussent le wagon vers l'intérieur).

2. Le mouvement est circulaire ; au sommet l'accélération est centripète, dirigée vers le bas, de norme $v^{2} / R$ . On projette le PFD sur un axe vertical orienté vers le centre (vers le bas) :

$m g + N = m \frac{v ^{2}}{R} ⟹ N = m (\frac{v ^{2}}{R} - g) .$

3. Le contact est maintenu tant que $N \geq 0$ (les rails ne peuvent que pousser, pas tirer). La condition limite de décollage est $N = 0$ , soit :

$\frac{v ^{2}}{R} - g = 0 ⟹ v_{min} = g R .$

En dessous de cette vitesse, le wagon quitte les rails et chute en chute libre.

4. Avec $g = 9, 81 m / s^{2}$ et $R = 8, 0 m$ :

$v_{min} = 9, 81 \times 8, 0 = 78, 5 \approx 8, 9 m / s \approx 32 km / h .$

À cette vitesse précise, $N = 0$ : les passagers ne sentent plus le siège, c'est la sensation d'apesanteur (impression de flotter). En pratique on lance le wagon plus vite pour garder une marge de sécurité.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.