Le pendule accéléromètre

Un petit objet de masse $m$ est suspendu au plafond d'un wagon par un fil inextensible de masse négligeable. Le wagon roule en ligne droite sur une voie horizontale. On étudie le mouvement dans le référentiel terrestre $\mathcal{R}$, supposé galiléen. On prend $g=9,81\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$.

a) Le wagon roule à vitesse constante. Montrer que, si l'objet est immobile par rapport au wagon, le fil est vertical. Une expérience faite dans le wagon permet-elle de savoir s'il roule ou s'il est à l'arrêt ? Quel est le mouvement du référentiel du wagon par rapport à $\mathcal{R}$, et que peut-on en dire ?

b) Le wagon a maintenant une accélération constante $\vec{a}=a{\vec{u}}_x$ ($a>0$), et l'objet est immobile par rapport au wagon, le fil faisant l'angle $\theta$ avec la verticale. Quelle est l'accélération de l'objet dans $\mathcal{R}$ ? Faire le bilan des forces, appliquer la deuxième loi dans $\mathcal{R}$ et en déduire $\tan \theta$ et la tension $T$ du fil. De quel côté le fil penche-t-il ?

c) Le référentiel du wagon accéléré est-il galiléen ? Justifier à l'aide de la seule première loi.

d) Un TGV démarre avec $a=0,50\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$ : quel angle lit-on ? Un passager mesure $\theta =5,8^{\circ }$ au freinage d'un autre train : que vaut l'accélération, et dans quel sens le fil penche-t-il ? Que vaut alors $T/(mg)$ ?