Le pendule conique et le régulateur de Watt

Exercice de TD · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 2 — Dynamique du point : les lois de Newton · C. Forces usuelles

Énoncé

Une petite boule de masse $m = 0, 20$ kg est attachée en $M$ à un fil inextensible, de masse négligeable et de longueur $ℓ = 0, 80$ m, dont l'autre extrémité est fixée en un point $O$ . La boule décrit à vitesse angulaire constante $ω$ un cercle horizontal d'axe la verticale de $O$ ; le fil fait l'angle constant $α$ avec la verticale. Le référentiel terrestre est galiléen ; $g = 9, 81 m s^{- 2}$ .

a) Quel est le rayon $R$ du cercle ? Donner l'accélération de la boule en coordonnées cylindriques d'axe la verticale de $O$ .

b) Faire le bilan des forces et projeter la deuxième loi sur la verticale et sur le vecteur radial horizontal $u_{r}$ . En déduire $T = m ℓ ω^{2}$ , puis $cos α = \frac{g}{ℓ ω ^{2}}$ .

c) Montrer qu'un mouvement conique ( $α \neq = 0$ ) n'est possible que si $ω$ dépasse une valeur seuil $ω_{0}$ à exprimer. Que se passe-t-il pour $ω < ω_{0}$ ? Décrire l'évolution de $α$ quand $ω$ croît ; le fil peut-il devenir horizontal ?

d) Applications numériques pour $ω = 4, 0 rad s^{- 1}$ : $ω_{0}$ , $α$ , $R$ , $T$ ; comparer $T$ au poids. Montrer que la période de révolution ne dépend que de la hauteur $H$ du cône (distance verticale entre $O$ et le plan du cercle).

e) Le régulateur à boules de James Watt (1788) : deux boules montées sur des tiges articulées tournent avec l'arbre d'une machine à vapeur ; quand elles s'écartent, elles soulèvent une bague qui ferme la vanne d'admission de vapeur. Expliquer le principe à l'aide des résultats précédents.

Corrigé

La stratégie. Le mouvement est connu (circulaire uniforme) ; l'accélération l'est donc aussi. Deux inconnues : la tension $T$ et l'angle $α$ . On projette sur les deux directions où l'on connaît l'accélération : la verticale, où elle est nulle, et le rayon, où elle vaut $- R ω^{2}$ .

a) La cinématique. Le centre $C$ du cercle est à la verticale de $O$ ; le rayon vaut $R = ℓ sin α$ . En coordonnées cylindriques d'axe $(O C)$ , $r = R$ et $z$ sont constants, $θ ˙ = ω$ constant : le cours de cinématique donne $a = - R ω^{2} u_{r}$ , accélération centripète, horizontale.

b) La dynamique. Bilan : le poids $m g$ , vertical vers le bas, et la tension $T$ , dirigée de $M$ vers $O$ , de norme $T$ inconnue. Le fil faisant l'angle $α$ avec la verticale, $T = - T sin α u_{r} + T cos α u_{z}$ ( $u_{z}$ vers le haut). Deuxième loi : $sur u_{z} : T cos α - m g = 0, sur u_{r} : - T sin α = - m R ω^{2} = - m ℓ sin α ω^{2} .$ Si $α \neq = 0$ , on simplifie la seconde par $sin α$ : $T = m ℓ ω^{2}$ . En reportant dans la première : $cos α = \frac{m g}{T} = \frac{g}{ℓ ω ^{2}} .$ La masse a disparu : l'angle ne dépend que de $ω$ , $ℓ$ et $g$ .

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