Le train de wagons et la corde lourde

Exercice de TD · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 2 — Dynamique du point : les lois de Newton · B. Les trois lois de Newton

Énoncé

Une locomotive tire un train de $N$ wagons identiques de masse $m$ chacun, sur une voie rectiligne horizontale ; on néglige tout frottement sur les wagons. La locomotive exerce sur le premier wagon la force horizontale constante $F = F u_{x}$ . Les wagons sont numérotés de $1$ (derrière la locomotive) à $N$ (en queue) ; l'attelage numéro $k$ relie le wagon $k$ au wagon $k + 1$ , et l'on note $T_{k}$ la norme de la force qu'il transmet. Le référentiel terrestre est galiléen.

a) Déterminer l'accélération $a$ du train, en appliquant la deuxième loi au système des $N$ wagons. Pourquoi les forces dans les attelages n'apparaissent-elles pas ?

b) En isolant un sous-système bien choisi, montrer que $T_{k} = F \frac{N - k}{N}$ . Quel attelage est le plus sollicité ? Quelle force le wagon $k + 1$ exerce-t-il sur le wagon $k$ ?

c) Application numérique : $N = 10$ wagons de $50$ t, $F = 2, 0 \times 1 0^{5}$ N. Calculer $a$ , $T_{1}$ et $T_{9}$ .

d) On pousse maintenant deux blocs accolés de masses $m_{1}$ et $m_{2}$ , posés sans frottement sur un sol horizontal, par une force horizontale $F$ appliquée sur $m_{1}$ . Déterminer la force de contact entre les blocs. Pousser par l'arrière ou tirer par l'avant change-t-il la force transmise à l'interface ?

e) Passage au continu. Une corde homogène de longueur $L$ et de masse $M$ , posée en ligne droite sur une glace sans frottement, est tirée par son extrémité avant avec la force $F$ . On note $x$ la distance d'un point de la corde à l'extrémité tirée. Montrer que la tension de la corde en ce point vaut $T (x) = F (1 - \frac{x}{L})$ . Comparer au résultat du b). Que devient $T (x)$ pour une corde de masse négligeable ?

Corrigé

La stratégie. On applique la deuxième loi à plusieurs systèmes différents. Chaque fois, il faut lister les forces extérieures au système choisi : une force d'attelage est intérieure si les deux wagons qu'elle relie sont dans le système, extérieure sinon. C'est ce qui permet de faire apparaître, ou disparaître, l'inconnue qu'on veut.

a) Le train entier. Système : les $N$ wagons, de masse $N m$ . Forces extérieures : les poids et les réactions des rails, verticaux et qui se compensent (pas de mouvement vertical), et la force $F$ de la locomotive. Les forces d'attelage sont intérieures : l'attelage $k$ tire le wagon $k + 1$ vers l'avant et le wagon $k$ vers l'arrière, et d'après la troisième loi ces deux forces sont opposées ; elles s'annulent dans la somme. Les wagons étant reliés, ils ont la même accélération $a$ . La deuxième loi projetée sur $u_{x}$ donne $N m a = F, a = \frac{F}{N m} .$

b) Isoler la queue du train. Système : les wagons $k + 1, \dots, N$ (ceux qui sont derrière l'attelage $k$ ), de masse $(N - k) m$ . La seule force horizontale extérieure à ce système est celle de l'attelage $k$ , qui le tire vers l'avant avec la norme $T_{k}$ ; les attelages $k + 1, \dots, N - 1$ sont intérieurs. D'où $T_{k} = (N - k) m a = F \frac{N - k}{N} .$ L'attelage le plus sollicité est le premier ( $k = 1$ ), qui tire tout le train sauf un wagon : $T_{1} = F (N - 1) / N$ . Le dernier attelage ne tire qu'un wagon : $T_{N - 1} = F / N$ . La tension décroît linéairement le long du train.

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