mécanique (MPSI) · Chapitre 2 · Exercice de TD

Le virage relevé

Dynamique du point : les lois de Newton · B. Les trois lois de Newton · niveau 2

Énoncé

Une voiture (ou un cycliste), assimilée à un point matériel de masse $m$ , parcourt à vitesse constante $v$ un virage circulaire horizontal de rayon $R$ . La chaussée est relevée : dans un plan vertical contenant le centre du virage, elle fait l'angle $β$ avec l'horizontale, en montant vers l'extérieur du virage. La route exerce sur le véhicule une réaction qu'on décompose en une composante $N$ perpendiculaire à la chaussée et une composante $f$ parallèle à la chaussée, dans le plan vertical radial (force latérale due à l'adhérence des pneus) ; on compte $f$ positivement vers le bas de la pente, c'est-à-dire vers l'intérieur du virage. Le référentiel terrestre est galiléen ; $g = 9, 81 m s^{- 2}$ .

a) Quelle est l'accélération du véhicule (direction, sens, norme) ? Rappeler le résultat du chapitre de cinématique utilisé.

b) En projetant la deuxième loi sur un axe parallèle à la chaussée, puis sur un axe perpendiculaire à la chaussée, établir $f = m (\frac{v ^{2}}{R} cos β - g sin β), N = m (\frac{v ^{2}}{R} sin β + g cos β) .$ Pourquoi ces deux axes sont-ils plus judicieux que l'horizontale et la verticale ?

c) En déduire la vitesse $v_{0}$ pour laquelle le virage est pris sans aucune force latérale : montrer que $tan β = \frac{v _{0}^{2}}{g R}$ . Que se passe-t-il sur verglas à cette vitesse ?

d) Vélodrome : $R = 25$ m, $β = 4 2^{\circ}$ . Calculer $v_{0}$ en $km h^{- 1}$ . Calculer le rapport $f / N$ à $30 km h^{- 1}$ puis à $70 km h^{- 1}$ , et interpréter son signe.

e) Bretelle d'autoroute : $R = 200$ m, $v = 90 km h^{- 1}$ . Quel devers faudrait-il pour que le virage soit pris sans force latérale ? Commenter, sachant que les devers routiers ne dépassent guère quelques degrés. Quelle fraction de la réaction normale les pneus doivent-ils fournir en force latérale sur une route plane ?

Corrigé de la question 1

a) L'accélération. Mouvement circulaire uniforme de rayon $R$ : d'après le chapitre de cinématique, l'accélération est centripète, $a = - \frac{v ^{2}}{R} u_{r}$ , horizontale (le virage est dans un plan horizontal), dirigée vers le centre du virage, de norme $v^{2} / R$ .

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

J'ai projeté sur l'horizontale et la verticale, comme d'habitude. Mais $N$ et $f$ ont alors chacune deux composantes, et je me retrouve avec un système de deux équations à deux inconnues assez pénible.

Ton système n'est pas faux, mais regarde les directions de $N$ et de $f$ : sur quel axe l'une des deux disparaît-elle complètement ? En contrepartie, c'est l'accélération et le poids qu'il faut alors projeter sur des axes inclinés. Quel angle l'accélération centripète fait-elle avec l'axe parallèle à la chaussée ?

Élève

Sur l'axe parallèle à la chaussée, $N$ disparaît, et sur l'axe perpendiculaire c'est $f$ . L'accélération est horizontale et la chaussée inclinée de $β$ , donc l'angle est $β$ . Pour le poids, j'hésite entre $sin β$ et $cos β$ .

Pour trancher, utilise un cas limite : si $β = 0$ , le poids a-t-il une composante le long de la chaussée ? Et avec ton orientation vers le bas de la pente, cette composante est-elle positive ou négative ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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