Le virage relevé

Exercice · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 2 — Dynamique du point : les lois de Newton

Énoncé

Vous abordez un virage un peu vite : la voiture semble « tirer » vers l'extérieur. Pour tourner, il faut pourtant une force dirigée vers le centre du virage (l'accélération est centripète, chapitre 1). Sur une route plane, seule l'adhérence des pneus peut la fournir — d'où le danger sous la pluie. C'est pourquoi les ingénieurs relèvent les virages rapides (autoroutes, circuits, vélodromes). Modélisons une voiture de masse $m$ parcourant à vitesse constante $v$ un virage de rayon $R$ .

Route plane. Faire le bilan des forces et montrer que le frottement doit valoir $f = \frac{m v ^{2}}{R}$ . Sachant que l'adhérence est limitée par $f \leq μ N$ ( $μ$ : coefficient d'adhérence), en déduire la vitesse maximale $v_{m a x}$ avant dérapage.

Application. $R = 50 m$ , route sèche $μ = 0, 8$ puis mouillée $μ = 0, 3$ . Commenter.

Virage relevé d'angle $β$ . On veut que la route tienne le virage sans compter sur le frottement, à une vitesse de référence $v_{0}$ . Montrer que l'angle idéal vérifie $tan β = \frac{v _{0}^{2}}{g R}$ .

Interprétation. Pourquoi relève-t-on les virages ? Que se passe-t-il si l'on roule plus vite, ou moins vite, que $v_{0}$ ?

Corrigé

1. Sur route plane, l'accélération est horizontale et centripète, de norme $v^{2} / R$ . Le poids et la réaction normale sont verticaux ; seule la composante horizontale du frottement est centripète. La projection horizontale du PFD donne $f = m v^{2} / R$ , la verticale $N = m g$ . La condition d'adhérence $f \leq μ N$ s'écrit donc $\frac{m v ^{2}}{R} \leq μ m g$ , d'où

$v_{m a x} = μ g R .$

La masse disparaît : un camion et une moto dérapent à la même vitesse.

2. Sec : $v_{m a x} = 0, 8 \times 9, 81 \times 50 \approx 19, 8 m / s \approx 71 km / h$ . Mouillé : $0, 3 \times 9, 81 \times 50 \approx 12, 1 m / s \approx 44 km / h$ . L'adhérence chutant, la vitesse de sécurité est presque divisée par deux : il faut nettement ralentir sous la pluie.

3. Sur un virage relevé sans frottement, seules $N$ (perpendiculaire à la chaussée) et $m g$ agissent. En projetant le PFD : verticale $N cos β = m g$ ; horizontale (centripète) $N sin β = m v_{0}^{2} / R$ . Le rapport élimine $N$ :

$tan β = \frac{v _{0}^{2}}{g R} .$

4. Relever le virage permet à la réaction de la route de fournir elle-même la force centripète : à la vitesse $v_{0}$ , la voiture tient le virage même sans adhérence (verglas). Si $v > v_{0}$ , il manque de la force centripète : le frottement doit compléter vers l'intérieur (tendance à glisser vers l'extérieur) ; si $v < v_{0}$ , c'est l'inverse. Les autoroutes ne sont inclinées que de quelques degrés (elles comptent aussi sur l'adhérence), tandis qu'un vélodrome atteint $40$ à $4 5^{\circ}$ pour les vitesses élevées.

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