Monter est plus court que descendre

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mécanique (MPSI), chapitre 2 — Dynamique du point : les lois de Newton · C. Forces usuelles

Énoncé

Une balle de tennis (masse $m = 57$ g, diamètre $d = 6, 7$ cm) est lancée verticalement vers le haut avec la vitesse $v_{0} = 30 m s^{- 1}$ . L'air exerce une force de frottement opposée à la vitesse, de norme $k v^{2}$ avec $k = \frac{1}{2} ρ C_{x} π (d /2)^{2}$ , $ρ = 1, 2 kg m^{- 3}$ , $C_{x} = 0, 55$ . On oriente $O z$ vers le haut, l'origine au point de lancer ; $g = 9, 81 m s^{- 2}$ .

a) Écrire l'équation du mouvement pendant la montée, puis pendant la descente, et les réunir en une seule équation valable dans les deux phases. Calculer la vitesse limite $v_{ℓ}$ de la balle.

b) Sans résoudre, montrer que la durée de la montée $t_{m}$ est strictement inférieure à la durée de la descente $t_{d}$ . Indication : comparer, dans chaque phase, la norme de l'accélération à $g$ , et comparer chaque phase à une chute libre sur la même hauteur $h$ . Montrer aussi que la balle revient au point de lancer avec une vitesse inférieure à $v_{0}$ .

c) Écrire un script Python qui intègre l'équation du mouvement (méthode d'Euler explicite avec un pas $d t = 0, 01$ s, puis la fonction solve_ivp de scipy) et qui donne $t_{m}$ , $t_{d}$ , la hauteur atteinte et la vitesse de retour. Comparer aux valeurs sans frottement.

d) Le raisonnement du b) dépend-il de la forme quadratique du frottement ? Que vaut-il pour un frottement linéaire ?

Corrigé

a) Une équation, deux phases. Bilan : le poids $- m g u_{z}$ et le frottement, opposé à la vitesse. À la montée ( $v_{z} > 0$ ) le frottement est dirigé vers le bas : $m v ˙_{z} = - m g - k v_{z}^{2}$ . À la descente ( $v_{z} < 0$ ) il est dirigé vers le haut : $m v ˙_{z} = - m g + k v_{z}^{2}$ . Les deux s'écrivent en une seule équation, car $- k v_{z} ∣ v_{z} ∣$ vaut $- k v_{z}^{2}$ à la montée et $+ k v_{z}^{2}$ à la descente : $m \frac{d v _{z}}{d t} = - m g - k v_{z} ∣ v_{z} ∣ .$ Le point délicat est là : écrire $- k v_{z}^{2}$ dans les deux phases donnerait un frottement toujours dirigé vers le bas, qui accélérerait la descente — une erreur de signe classique, que le code numérique reproduirait sans broncher.

Numériquement, $k = \frac{1}{2} \times 1, 2 \times 0, 55 \times π \times (0, 0335)^{2} \approx 1, 16 \times 1 0^{- 3} kg m^{- 1}$ et $v_{ℓ} = m g / k \approx 21, 9 m s^{- 1}$ . La vitesse de lancer dépasse la vitesse limite : le frottement, au départ, est plus grand que le poids ( $k v_{0}^{2} / (m g) = (30/21, 9)^{2} \approx 1, 9$ ). On ne peut pas le négliger.

b) L'argument qualitatif. Notons $h$ la hauteur atteinte : les deux phases parcourent la même distance $h$ .

La descente. La balle part du sommet avec une vitesse nulle. Le frottement étant dirigé vers le haut, la norme de son accélération vaut $g - k v^{2} / m$ , strictement inférieure à $g$ dès que $v \neq = 0$ . La norme de la vitesse croît donc moins vite que dans une chute libre : à chaque instant, $∣ v_{z} (t)∣ \leq g t$ , et la distance parcourue au bout du temps $t$ est au plus $\frac{1}{2} g t^{2}$ . Pour parcourir $h$ , il faut donc un temps $t_{d} \geq 2 h / g$ , et même $t_{d} > 2 h / g$ puisque l'inégalité sur l'accélération est stricte dès le premier instant.

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