Pendule simple : analyse dimensionnelle et pendule qui bat la seconde

Un point matériel $M$ de masse $m$ est suspendu à un point fixe $O$ par un fil inextensible de masse négligeable et de longueur $\ell$. On repère $M$ par l'angle $\theta$ que fait le fil avec la verticale descendante, en coordonnées polaires de centre $O$ ; le fil reste tendu. Le référentiel terrestre est galiléen.

a) Rappeler l'expression de l'accélération de $M$ dans la base polaire $({\vec{u}}_r,{\vec{u}}_{\theta })$. Faire le bilan des forces. Sur quel vecteur faut-il projeter la deuxième loi pour obtenir l'équation du mouvement sans connaître la tension ? Établir $\ddot{\theta }+\frac{g}{\ell }\sin \theta =0$. Que donne l'autre projection ?

b) Analyse dimensionnelle. On lâche le pendule sans vitesse depuis l'angle ${\theta }_0$. La période $T$ des oscillations ne peut dépendre que de $m$, $\ell$, $g$ et ${\theta }_0$. Montrer qu'elle s'écrit nécessairement $T=\sqrt{\ell /g}F({\theta }_0)$, où $F$ est une fonction sans dimension. Pourquoi la masse ne peut-elle pas intervenir ? Ce résultat est-il compatible avec l'équation du a) ?

c) Pour de petits angles, on remplace $\sin \theta$ par $\theta$. Quelle équation obtient-on, et que vaut alors $F$ ? Calculer l'erreur relative commise en remplaçant $\sin \theta$ par $\theta$ pour $\theta =10^{\circ }$. Que dit cette approximation de la dépendance de $T$ en ${\theta }_0$ ?

d) Un pendule « bat la seconde » si chaque aller (une demi-période) dure exactement $1$ s. Calculer sa longueur pour $g=9,81\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$. Que vaut la période d'un pendule de $1,0$ m ?

e) Une horloge est réglée par un pendule de ce type, dont la tige d'acier a un coefficient de dilatation $\lambda =1,2\times 10^{-5}{\mathrm{K}}^{-1}$ (sa longueur devient $\ell (1+\lambda \Delta \Theta )$ quand la température augmente de $\Delta \Theta$). La pièce se réchauffe de $10$ K. L'horloge avance-t-elle ou retarde-t-elle, et de combien par jour ?